CHAPITRE II • Z

donc

le module de — s*anDule pour fx = oo , et Ton a, en conséquence,

Z — X la formule ( 2 ) devient donc

d(a = ^tt;

an + a

Cette formule de Cauchy ne diffère pas de la formule (la) du n® 382, de laquelle nous avons conclu le développement de la fonction F{x) en série. Diiférentions-la (x fois par rapport kx^ ou, si Ton veut, par rapport au module de jr; la différentiation pourra être exécutée sous le signe / 9 dans le second membre, et Ton aura

(4) FO*)(x) = i.a.,.fx— r J^Il^^—d<^.

Pour x = o, les formules (3) et (4) donnent, en écrivant Re**^""* au lieu de Z,

[S] F(o) = ^/' F(Re-^K

(6) F(»'^(o)=i.!i...f*R-''— / ér-»'"v^F(Rtf-v'-i)j„.

Enfin, si Ton désigne para: une constante et qu'on applique les formules (5) et (6) à la fonction F(z) = ^[x -f- -z),

l4o CALCUL INTÉGRAL.

on aura, en écrivant r au lieu de R,

(7) ^(ar)=— / ê[x ^ reryl-^)dfù,

« Les formules (7) et (8) subsistent pour toutes les valeurs de r telles que la fonction §{x + re**^"^) reste continue.

501 . Les formules précédentes permettent de déterminer un grand nombre d'intégrales définies ; nous allons en présenter des exemples.

!• Soit

cette fonction reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à i . La formule ( 5 ) donnera donc, en faisant ce = o et en supposant R <^ i,

Je dtù f m

/***(i — Rcosw)-i-^ — iRsinu

I — ^ïRcosu + R*

d(ùf

d'où, en séparant les parties réelles et les parties imaginaires,

fi — R cosw I — iRcosw -h R'

smu ,

dtù = 0.

I — aRcoso) H- R"

Il faut remarquer que cette dernière formule est évidente; car les éléments de l'intégrale qui répondent à des valeurs de (ù complémentaires à air sont égaux et de