Les intégrales définies

(i) I cosixcosjxdxj j smixsmjxdx

sont nulles toutes les deux lorsque i et j désignent des entiers inégaux. En effet, si Ton fait leur somme et leur différence y on trouve

j cos(/ — j)xdx^ I cos [i'\-j)xdxj

et il est évident que ces intégrales sont nulles, puisque cos(i — j)xdx, cos[i-\'j)xdx sont les différentielles des fonctions

8in(« — j)x sinf/ H-y)ar

qui s'annulent pour a: = o et pour a: = ir.

Mais, si l'on a j = ij la seconde des intégrales (a)

s'annule seule, et la première se réduit à / dx ou à ir; donc les deux intégrales

- i cosixcosjXéixj - / sinijrsiny'x^x

sont égales à l'unité ou à zéro, selon que les entiers i et j sont égaux ou inégaux. Cette conclusion suppose pourtant que l'on n'a pas 1 =y = o ; dans ce cas, la première intégrale (3) est égale à a et la secohde est nulle.