Cela posé, soient y*(x) et F(x) deux fonctions

l44 CALCUL INTÉGUAL.

de Xf et supposons qu'on sache que ces fonctions sont développables en séries convergentes de la manière suivante :

(4) /W =-Ao-I-AiCOSj: -4-AjCOS2^-h...4- A/COS«.r -h...,

(5) F(x)=Bisinx-i-B,sin2a:-j-B,sin3ar-f-...-4-B,sin/j:-i-...;

il restera à déterminer les coefGcients, ce que Ton peut faire aisément comme il suit.

Multiplions la formule (4) par - co^ixdxet intégrons

ensuite de o à tt; d'après ce qui précède, tous les termes du second membre de la formule résultante seront nuls, à l'exception du terme

Ixcosixdjpy lequel est égal à A/; on a donc (6) A/ = - f /(x) cos ixdx;

cette formule subsiste pour i = o, parce que nous avons

eu soin de représenter par -Aq et non par Aq le pre-

mier terme du second membre de la formule (4)*

Multiplions de même la formule (5) par -sinixdxy

et intégrons ensuite de o à ir; les termes du second membre de la formule résultante seront nuls, à l'exception de

B/X- i sinixsmi xdr^

dont la valeur est égale à B/; on a donc

B/=-- I 'F{x)siaixdx,

CHÀPITHB II. 145

Î504. Les fonctlonsy(a:), F{x) que nous venons de considérer sont Fane paire et Fautre impaire; elles ue constituent donc qu'un cas particulier des fonctions périodiques. Désignons généralement par ^(a:) une fonction développable en une série convergente procédant suivant les cosinus et les sinus des multiples de x; le développement aura la forme

(R) J»' W=-" Ao4- AjCOSx-hAjCOS2x-h...4-A^cos/ar -h... ( H- Bi8inj:-hB,sin2Jc-|-...-l-B/sin/x4-..M

et il est facile de déterminer les coefficients. EQectivementy on reconnaît que les intégrales

- I cosixcosjxdx^ - I sinia;sinyâ;d[r

sont égales à Funité ou à zéro, suivant que les entiers I et y sont égaux ou inégaux; dans le cas de 1 =y = o, la première intégrale est a et la seconde est zéro ; on voit aussi que l'intégrale

ÛTkixcosjxtlx

est toujours nulle. Diaprés cela, si Ton multiplie la formule (8) par -cosixdxj puis par -sinixdXf et qu'on intègre ensuite de j:= o à a:= a^r, on aura

(9) A,=iy"^(x)

00s ixdXf

(10) B/ = - I ^(x)sinixdjc\

la formule (9) n'est pas en défaut pour î= o^et, dans c»

S. ^ Cale, ini, 10

l46 CALCUL IBTÉGEÀL.

cas, elle donne le double Ao du terme indépendant de x dans le développement de ^(o:).

Il y a souvent avantage à introduire les eicponentlelles imaginaires dans les développements en série que nous considérons. Ainsi la formule (8) peut être mise sous la forme

5» = ^ kje^'T-i

alors, en multipliant par — é^^^^dx et intégrant ensuite de o à 271, on aura

e(y-«)xv^ dx est égale à aTt si Ton a / = i,

mais elle est nulle pour toutes les autres valeurs de / ; par conséquent, on a

formule où Findice i peut avoir toutes les valeurs entières comprises entre — oo et -H oo •

Remarques sur le changement de variables dans les

intégrales définies*

505, Soit l'intégrale définie / J*{x) dx. Si Ton veut substituer à x une autre variable f , telle que

et que Ton fasse

CnAPITRE II. X4j

on aura (n°-416)

f f(a:)dx=f F[t)di,

en désignant par t^ la valeur de t qui répond k x ■= x^. Ensuite, si l'on fait a: = X, et que Ton nomme T la valeur de t qui répond à a: = X, on aura

/ f[x)dx= f F{t)dt.

Cette formule exige quelques précautions pour ne pas donner des résultats inexacts. Lorsque la fonction f(£) n'est pas uniforme, il peut arriver que, pour obtenir une suite continue de valeurs de x allant de Xq à X, il soit nécessaire d'employer successivement diverses déterminations de la fonction <f(£). Dans ce cas, il faut concevoir que l'on fasse des changements de variable successifs.

506. Exemple. — Un exemple très-simple éclaircira ce qui précède. Considérons l'intégrale

dx

où X est positif. Nous avons vu au n^ 446 que cette intégrale pouvait être ramenée à la forme elliptique au moyen de la substitution

or* qui donne

dx , i dt

io

l48 CALCUL IHTÉGIIÀL.

Si Fon veut que x et t deviennent nuls à la fois, on prendra, pour les petites valeurs de t^

La variable t croissant de o à i , a: croit en même temps de o à I . Pour que la variable x acquière des valeurs supérieures à l'unité, on devra prendre ensuite

, Si Ton fait varier t de i h Oy x croît de i à Tinfini.

Soit T la valeur de t qui répond à j: = X. Si l'on a X < I , on a aussi

Mais si X est ]> I , on a

on peut intervertir les limites de la dernière intégrale du second membre, en changeant le signe de cette intégrale ; elle devient alors

r' fit r dt r^ dt

ce qui donne, pour le cas de X ]> i,

. . r^ dx 1 r dt i ç^ dt

on voit que cette formule (a) est très-différente de la formule ( I ) qui se rapporte au cas de X <^ i • Les formules ( i )

ghapithb II. 149

et (a) s'accordent à donner pour X = i

r" dx I r^j

507. On peut toujours, par une substitution, ramener une intégrale définie à une autre, dans laquelle les limites de l'intégration soient deux quantités choisies arbitrairement.

Par exemple, si Tintégrale proposée est l f[x)dx^ Xo et X étant des quantités finies, et que Ton pose

x — Xf^ t -—tQ ,, , dx dt

X — JTo T — ^0 X — JTo 1 — ^0

t étant une nouvelle variable, t^ et T des quantités finies quelconques, il est évident que Ton aura f == t^ pour x = Xo et f = T pour x = X; en conséquence, la substitution donnera un résultat de la forme

r f[x)dx^ ç ¥[t]dt^

Si Ton emploie la substitution

X —• Xo f — /o -+- I

on aura f = f© pour x = oto et i = -+- 00 pour x = X; par conséquent, notre substitution donnera

j f[x)dx=j\[t)du

et, si Ton prend îq = o, on aura

r /(x)dx=ç F{i)dt.

l5o CALCUL INTÉGRAL.

Il est évident que la substitution inverse ramènera Fin- ' F{t) dt à la forme I f[x) dx.

508. Nous avons vu qu'une intégrale définie peut être écrite à la manière des intégrales définies, en fixant à volonté la valeur à partir de laquelle on fait commencer l'intégration. Et Ton peut ajouter, d'après ce qui précède, qu'une intégrale indéfinie peut être remplacée, d'une infinité de manières, par une intégrale définie dont les limites peuvent être prises à volonté. Car,

soit l'intégrale indéfinie I /{x) dx\

Çf[x)dxz= j /(x)dx-h-C,

C étant une constante arbitraire. Écrivons a au lieu de x

on a

sous

le signe / du second membre, il viendra

j/{x) cix=z j /(a) dot + a

/'{a)da est Tinlégrale définie de la différentielle

f[oL)doL prise entre les limites Xo et a: ; dès lors on peut lui appliquer les transformations dont il a été parlé au numéro précédent.

- Considérons, par exemple, l'intégrale indéfinie

c^dx,

où nous supposerons l'exposant n positif. Cette intégrale est égale à

jr«-*^-*£/a: + C OU I a'»-*^*i/« 4-C,