CHAPITRE III

à cause de a ^ o, on a

.(«-«^)x,p^ =PSSÎîfflRé*^'=i

a ce qui réduit Téquation (4) ^

d^ df cos^

Égalant entre elles les parties réelles et les parties imaginaires, il vient

^logR sin^ d^

df cosy df

logR rrr — p j ?— ? = log COS^'y ■+- COnSt.,

♦ =z^y 4- const.

Or, lorsque « ou 9 est nul, on a <I> = o, R = -~- j donc

et, par conséquent, la formule (2) devient

( 5 ) / ^(a-*/=nx^i»-i ja: = -f^ cos'» fePf^,

et Ton peut écrire aussi

(6) r e-^^tyPO^xP-^dx = , î^-W »

ce qui est précisément la formule (i), dans laquelle on fait m =za — t ^ — i . Mais, comme l'expression [a — t ^ — i j'' est susceptible de plusieurs valeurs quand p est fractionnaire, il faut bien remarquer que l'argument de cette puissance doit être obtenu en multipliant par p l'argument de a — t ^ — I pris entre les limites et H — •

ig^ CALCUL inTÉGAAL.

La formule (5 ) se décompose dans les deux suivantes :

J[ xP-^e-^coatxdx = — ^ ces'» 5» cospf o ^

I 4:P— * c'-** sin /4?</^ = cos'* f smp f

= -~r^ 8mPf8m/>f,

où les trois quantités ay £, 9 sont liées entre elles par la relation (3).

530. Nous avons admis que les intégrales qui figurent dans ces formules ont des valeurs finies et déterminées ; c'est ce qui a lieu efiectivement quand la quantité a est positive, comme nous l'avons supposé. Mais il n'est pas évident qu'il en soit de même lorsque a est nulle , c'està-dire lorsque cf = -9 t ayant une valeur finie; dans ce

cas, les formules (7) ne subsistent que si p est inférieur à l'unité. Pour le prouver, il nous suffira de considérer la deuxième des intégrales (7) ; ce que nous allons dire s'applique à la première, avec les changements convenables. La quantité t étant supposée positive, soit

ou, en faisant la substitution x = >

«m=^/ («-*-iW7r)P-»e sin2<2s;

il est évident que l'intégrale contenue dans la deuxième