CHAPITRE III. igi

formule (7) est la somme de la série convergente

dans laquelle les termes sont alternativement positifs et négatifs, et décroissent indéfiniment quand on a a ^ o. Mais, lorsque a est nul, Um se réduit à l'expression

U« = ^ / (2 -î- 'nit]P-^sm zdz,

qui ne devient nulle pour 7» = 00 que si Ton a p <] i . Dans cette hypothèse, la série

Uo-Ui4-U,~U,-f-...

est convergente, et je dis qu'elle a pour somme la valeur que prend, pour a = o, la somme de la série précédente. En effet, si 5 et S désignent les sommes des deux séries. Su et Su les sommes formées par les n premiers termes, Ta et R» les restes correspondants, on aura

la différence S^ — Sn s'annule avec a; d'ailleurs, R„ et r„ tendent l'un et l'autre vers zéro, quand n augmente indéfiniment; donc S — s s'annule pour a -— o.

D'après cela, les formules (7) donneront, pour a= o

ou 9 = - >

x'^' cos txdx = —- 008 ■ 9

tP 2

f xP-^si

shitxdx = — ^— - sin — > tP 2

pourvu que p soit compris entre o et 1 .

Si l'on remplace T(p) par sa valeur — 9

S. -^ Caic, int, i3

ig4 CALCUL ihtégràl.

dans la dernière formule, il viendra

xP~^ sin t xdx =. ,

^tP T [i — p) cos' —

l'intégrale reste finie pour ^ = o, et Ton a

smtx V

dxz=z — >

comme nous l'avons déjà trouvé au n® 494.

831 . Les formules précédentes permettent de déterminer un grand nombre d'intégrales définies ; nous allons présenter quelques exemples.

Remarquons d'abord que les équations (8) ne supposent aucunement la formule d'EuIer d'où nous avons tiré la deuxième propriété des intégrales eulériennes, et il est très-facile, au contraire, d'en déduire cette formule. Effectivement, multiplions la première des équations ( 8 )

par — ; — 5> et intégrons ensuite def=oàf=oo; l'intégration pourra être exécutée sous le signe 1 9 dans le premier membre, et l'on aura

mais, comme a: est positif, l'intégrale 1 ^ ^ f/f est égale à -,e~-^ (n** 496) ; le premier membre de la formule pré-

cédente se réduit donc à -r(^), et l'on a

o ces