X -j-= 4- 2n -5 m' xy

et elle s'identifie avec l'équation (1) du paragraphe précédent en posant :

Les trinômes P et 0 prennent alors les valeurs

p = 2nw, Q = u« — m*,

et Texpression générale de U

se réduit à

La quantité

[ûUe-]*'

s'annulera donc si Ton fait u^ = — m et tf,== + m et comme ces limites sont indépendantes de j*, la valeur correspondante de y

représentera, d'après la théorie précédente, une intégrale do l'équation proposée.

On en obtient une seconde au moyen de l'artifice suivant. Si l'on pose :

et si Ton substitue à y cette valeur dans l'équation difi-érentielle , on est conduit à. l'équation dififérentielle en z :

:i04 COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET I>TÊ(;RAL

qui rentre dans la forme de Téquation (a), lorsqu'on détermine/* par la condition

2n + p — 1 = 0, c'est-à-dire

L*équation (g) devient alors :

dx" X dx

c'est-à-dire qu'elle est identique avec l'équation (a), dans laquelle on aurait changé n en (1 — n) et ij en z. Elle admet donc la solution :

rj = r c** (u* — m^}-* du, d'où l'on déduit la solution

y^ = xP r, = x<*-»») r "e»* (u» — m')-* du

pour la proposée.

La connaissance des deux solutions »/, et y^ fournit la valeur

Cl Vi + Ci v, de Tintégrale générale.

La méthode ne serait en défaut que dans le cas où n étant

égal à ^, les deux solutions particulières viendraient à se confondre. Mais on peut éluder cette difficulté par un procédé quo nous avons déjà employé dans des cas analogues et qui consista à faire tendre n vers sa limite en posant

La valeur de y, s'écrit alors :

Le facteur

lx(tt«— Tn*)M

développé par rapport à e d'après lajformule de Taylor, s'écrit, en s'arrêtant au second terme

et la valeur de y, devient ainsi :

r+» -.i r+» -i r in

/ e»' (u* — m«) »" Lrx(u» — m«)8 j du = i/^ + e?/.

en désignant par ?/, la dernière intégrale. L'expression de Tintégrale générale est alors

(Cl + c,) Vi + c, «î/„

et en définissant deux nouvelles constantes arbitraires par les relations

q + Cj = Kl

on obtient, sous la forme K^ y^ + K, y,, l'intégrale générale relative à ce cas particulier.

349. Intésratioii i»ar les séries. — Lorsque les différents procédés que nous venons d'indiquer ne s'appliquent pas. on peut recourir à une dernière méthode, celle de l'intégration par les séries.

Supposons que la fonction inconnue de x qui satisfait à l'équation d'ordre m

soit développable par la série de Maclaurin.

soc COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTÉGRAL

On aura :

(2) y = (!/o) + Y (!/')o + —^ iy")o ... + j^2— f;^ (!/^->)o

Or, on sait que pour une valeur initiale arbitraire de œ, jr = Û par exemple, les valeurs initiales dey, y', ?/'... y^*"*^ peuvent être arbitrairement choisies.

On pourra donc prendre pour ces valeurs m constantes arbitraires c^, c,... c„ avec lesquelles les m premiers coefficients du développement seront composés.

Les coefficients suivants se trouveront déterminés par l'équation différentielle en fonction des mêmes constantes, en effet cette équation résolue par rapport à t/^*"^ donne :

et par conséquent

et la différentiation de Téquation (T) effectuée en substituant chaque fois à la dérivée y^"^^ qîii s'introduit dans le second membre, sa valeur en fonction de x, y et des dérivées inférieures, fournit les valeurs de î/^"*'*"*\ i/"*+*\.. en fonction de œ^ y, ï/'...t/^""'' c*est-iVdire celles de {j/^'^^\ (i/^'""^*0o"* ®^ fonction de 0, Cj, r,. ..(',.

Le développement de y s'obtient donc en fonction des m constantes qui caractérisent l'intégrale générale. Mais il faudra dans chaque cas vérifier la convergence de ce développement.

On doit observer en outre que l'intégrale se présente ainsi sous la forme d'un développement infini dont on ne pourra pas en général reconstituer la somme sous forme finie.

L'application de cette méthode à l'équation très simple

qu'on sait d'ailleurs intégrer directement, puisque c'est une équation linéaire à coefficients constants, suffira pour faire comprendre la marche des calculs à effectuer. Posons

(y'io = <•!»

<m trouve

<»t en général :

Le développement de l'intégrale devient donc

On reconnaît tacilement dans ce cas la convergence de la série -et l'on arrive aisément à en faire la somme en groupant eu- :*enible tous les termes qui contiennent la même constante en facteur. On trouve ainsi :

!/ = '^'V* -172 + iTTi • • 7 + '« u - iXâ + rraxâ -• • • j

= Cl cosx + r, sinx,

expression conforme à celle que donne l'intégration directe.

On remarquera que si l'intégration des équations différentielles peut s'effectuer à l'aide des séries, réciproquement la sommation d'une série peut souvent se ramener à l'intégration d'une équation différentielle. On vient précisément d'en avoir un exemple dans le calcul du paragraphe précédent, car l'identification du développement avec l'intégrale directement obtenue de l'équation proposée fournirait la sommation des séries qui représentent sin X et cos x.

En général, la sommation d'une série se ramènera à l'intégration d'une équation différentielle toutes les fois que, par des dérivations, on arrivera à régénérer la série proposée.

Ainsi par exemple en dérivant la série

on trouve

dy X x* x*

et en multipliant par œ cette dernière série et la dérivant ensuite, il est facile de prévoir que le dernier facteur de chaque

a08 COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

dénominateur devra disparaître et que la série proposée sera régénérée à un facteur près : on trouve effectivement ainsi

c'est-à-dire

La valeur de y est donc égale à l'intégrale de l'équation linéaire

qui rentre dans le type général dont nous avons donné Tintégration au S 348.