tt Équations dont on peut abaisser l'ordre

Premier cas. — L'ordre d'une équation de la forme :

'^ \ ' dx«' dx-^* '** dx"+i'dJcV~

CALCLL INTEGRAL 497

s abaisse de n unités en posant :

la substitution conduit en effet à Téquation

Deuxième cas. — Une équation ne renfermant pas la variable indépendante t, et de la forme

/ dy d'y d'y\

peut s'abaisser d'une unité en posant :

di = P- On déduit en effet de cette relation

cZ»^rJp___(Jpdy dp^ dx* dx dydx dy

d*y dp lÎP . „ ^ d^/ „ {'^pW „t ^ dx*^dy dx "^ ^ dy* dx ' \dyj "*" ^ dy*'

etc.

et en portant ces valeurs dans Téquation proposée, on obtient une équation différentielle du (n — ])• ordre en y etp, dont la résolution fournirait p en fonction de y. La relation

ainsi obtenue donnerait

dx= --^,

et les variables se trouvant séparées, x s'obtiendrait en fonction de y par une simple quadrature.

Troisième cas. — Une équation homogène par rapport à y et uses dérivées peut être abaissée d'une unité en posant y =^. Ainsi :

I homogène et de degré m d'homogénéité devient

et l'on retombe ainsi dans le cas antéprécédent.

34lO. Appltcatton* — Reclierche de la €5oari>e daim laquelle le rayon de eourbure est eonstant. — En

prenant la valeur du rayon de courbure exprimée en coordonnées rectangulaires avec Thypothèse de x variable indépendante, on a pour l'équation différentielle de la courbe cherché^.

dx

Cette équation rentre dans l'un des cas ^)récédemment étudiés, et son degré peut être abaissé d'une unité. Posons :

il vient

ag = ,i+p')i

ou

(2) dx = j

les variables sont actuellement séparées et Ion pourrait, suivant la marche ordinaire, tirer de cette équation, par une quadrature. œ en fonction depiy en résulterait ensuite par une nouvelle quadrature.

Mais on arrive plus commodément au résultat par i'erapli'i

d'une variable auxiliaire; on pose d'où

^ cos'o

Téquation (2) devient alors

CAIXLL INTEGRAL 409

dx = acos^d^

et Ton en déduit :

dy = pdx = a sin 9 dy.

Ces deux dernières équations s'intègrent immédiatement et

donnent

X — c = as\nfj y — c'= — acos9,

d'où en élevant au carré et faisant la somme

équation d'un cercle de centre arbitraire et de rayon a.

On vérifie ainsi que le cercle est la seule courbe jouissant de la propriété d'avoir en tous ses points même rayon de courbure.

3^*7. Intésraflon par les intégrales définies. -~^

On a vu qu'une intégrale définie pouvait être considérée comme une fonction :

1® Des différents paramètres que peut renfermer la fonction soumise à Tintégration ;

2"* Des limites de cette intégration si l'intégrale est réelle, oa do la courbe (ï intégration suivie s'il s'agit d'une intégrale géométrique.

On peut donc, étant donnée une équation différentielletelle que

essayer d'y satisfaire en prenant pour y une intégrale définie qui représente une fonction de rr, soit que cette lettre figure comme

paramètre sous le signe i , soit qu'elle entre dans les limites de

l'intégration, ou que la courbe d'intégration choisie en dépende.. Si l'on adopte la première de ces hypothèses, la valeur de y î^era de la forme

et les limites Wp ti, étant supposées indépendantes de a?, les

dérivées successives de y s'obtiendront par la règle de différentiation sous le signe / et se présenteront sous la forme d'intégrales définies analogues à i/(*).

Si maintenant on suppose que l'équation proposée soit linéiiire et homogène, c'est-à-dire dépourvue de second membre, le résultat de la substitution de y conduira à égaler à zéro une intégrale définie unique. Cotte condition pourra être satisfaite en général soit par la détermination de la fonction ç, restée arbitraire, soit par l'adoption de certaines limites Mj w„ et d'une courbe d'intégration convenablement choisie entre ces limites; soit enfin par une combinaison plus ou moins heureuse de ces différents procédés. La valeur de y résultera de ces déterminations.

L'exemple suivant sufïïra pour faire comprendre Tesprit d»^ cette méthode ingénieuse due à Laplace.

Considérons l'équation hnéaire :

(1) (Oo + Kx) Jj^, -h (a, 4- 6, X) ^ + (a, + b^x) y = 0,

et cherchons à y satisfaire par une intégrale définie de la forme :

(2J y= le»«Udu,

U représentant une fonction w, indépendante de x.

On voit que dans le cas actuel nous précisons d'avance la forme de la fonction ^(u, x) : nous le faisons en raison même de la nature de l'équation (1) et pour préparer une simplification dans le résultat de la substitution.

(*) On suppose que la variation de x non- seulement ne modifie pas 1<^ limites U| et u,, mais qu'elle ne change pas la courbe d'intégration suivie entre u. et u, ou du moins qu'elle ne fait franchir à cette courbe aucun point critique de la fonction 7.

CALCUL L\TK(;RAL îiOl

Les dérivées de y sont en effet

ea sorte que la substitution dans Téquation proposée donne simplement

|^(a.u« + «',u + aj)+(5^u* + b^u + 6,)xl e-'Udu = 0,

OU

(3) r*"(P 4- Qx)e-'U(iu = 0,

en représentant pour simplifier par P et Q les deux trinômes «o^* + «lU + ^1 et 6^n* + h^u + ft,.

L#a forme de cette intégrale définie conduit naturellement à une transformation qui consiste à isoler le second terme de la parenthèse et à appliquer à l'intégrale correspondante

**QUxe»'du,

la méthode d'intégration par parties, en prenant xé^'^du pour le facteur différentiel. On trouve ainsi

r QUxe-'du = rQUe-'l — ï e-' ^^ du. L'équation (3) devient alors :

(4) r"*['*^~ ^S^]^""^" + [QUe-]"'= 0.

Sous cette forme, la lettre x ayant disparu de la parenthèse sous le signe d'intégration, on voit qu'on pourra disposer de la fonction U qui est arbitraire pour annuler cette parenthèse et par suite tous les éléments de l'intégrale définie, en posant

(5) ?v-im=o,

^ ' du '

c'est-à-dire

d(QU) P

d'où par une intégration facile

Si Ton adopte cette valeur de U, l'intégrale définie de l'équation (4) se trouvera égale à zéro quelles que soient ses limite:? : il faudra ensuite choisir ces limites u^ et «,, indépendantes de j par hypothèse, de manière à annuler également la quantité

c'est-à-dire

[..-il-]-.

Si par exemple on trouve des valeurs de u indépendantes de jqui rendent

ux 4

égala — co, ces valeurs conviendront indifféremment pour ii,«et k, et l'on conçoit qu'on pourra de cette manière former difTérenles intégrales particulières de l'équation proposée. Si Ton en obtient deux, //q et //j, qui soient distinctes,

sera l'intégrale générale. Les valeurs de y^ et y, seront d'ailleurs de la forme

"'le-'Q du.

34l8. La méthode que nous venons d'exposer s'applique eu

particulier à l'équation

dont elle permet d'effectuer l'intégration.

s écrit

CALCUL LNTÊGRAL 603

effet, si l*on chasse le dénoQiinateur Xy cette équation