ÉQUATIONS SIMULTANÉES
350. Supposons qu'un système donné d'équations difiérentielles renferme plusieurs fonctions d'une même variable indépendante X, les équations étant en nombre égal à celui des fonctions.
Soit par exemple :
( dy dz du \ — n
»V'^''^'rf^ '^'5:^ ' ' ' ' '^' dx / -*''
e f dy dz du \
*'"V'''^*5I- '''dû '""'TE? / -"'
le système d'équations données.
On peut d'abord se proposer d'éliminer toutes les fonctions, à
l'exception d'une seule, y par exemple.
Pour cela on pourra opérer de la manière suivante :
On tirera de l'une des n équations données la dérivée d'ordre
le plus élevé d'une des lettres, z par exemple, et on portera sa
d^s valeur dans les n — 1 autres; soit :r— cette dérivée : il restera
' dx^ '
CALCUL LNTÉGRAL :i09
ainsi un système de n — i équations ne renfermant plus que
. pSi ; on dérivera Tune de ces équations et Ton y remplacera
par sa valeur la dérivée r-^, que la dérivation aura de nouveau
introduite. En définitive, on obtiendra ainsi n équations nou-
velles d'où la dérivée y-j, aura disparu. En répétant pour ^^
d^z ce qui vient d'être fait pour y-^^, on éliminera à son tour cotte
dérivée, et ainsi de suite jusqu'à ce que la lettre s ait disparu. Il restera alors n — i équations ne renfermant plus z. On fera Ae même pour les autres lettres et Ton arrivera en définitive à une équation unique entre x et y.
Exemple. — Pour mieux faire comprendre la marche de ce <\alcul, nous l'appliquerons à un exemple très simple. Soient les deux équations simultanées à trois variables :
dy dz
Proposons-nous d'éliminer z d'après la méthode qui vient d'être indiquée'
En différentiant l'équation (2; on a :
d^z et, en substituant à -T-4 dans cette nouvelle équation sa valeur
tirée de la première, on trouve différentiant de nouveau ; il vient :
\) d'f/ dz d«i/ g^dy
dx* dx doc* ^ dx
et en remplaçant -^ par sa valeur tirée de (2;
Éliminant enfin z entre (4) et (6), et opérant les réductions, on arrive à la relation
qui ne renferme plus que y et qui est Téquation cherchée (*;.
Gomme on le voit, l'élimination des variables élève Tordre de Téquation finale.
(*) Cette équation s'intègre dVilleurs sans difficulté, car on peut l'écrire
d^y dy dx* dx
dx^
d'où
d^u L— ,= Lî/+Lc,
c'est-à-dire
équation linéaire qui sUntègre immédiatement et donne :
Mais dans le cas actuel, on pourrait opérer plus rapidement encore en remarquant que Téquation (2) peut s'écrire
dy dz I dx = dx
! d'où
y = cz.
En substituant à z dans Téquatton (1) sa valeur en y, on trouve immédiatement
c'est-à-dire Téquation (8).
CALCUL LNTÉGRAL îiM
3S4. Inversement en multipliant les variables et le nombre «les équations on peut en abaisser Tordre et ramener finalement le système à être du premier ordre. Pour cela il suffit pour cha ;iie lettre telle que z de poser
dz dx "" '*' do __ dx " '*'• dw
etc.
et d'éliminer au moyen de ces relations nouvelles qu'on joint au système propose^ toutes les dérivées d'ordre supérieur au premier «(ui fît^urent primitivement dans le système.
Cela fait, on pourra toujours, théoriquement du moins, résoudre ce système par rapport aux dérivées du premier ordre qu'il renferme et le mettre par conséquent sous la forme définitive
dy ,
du f .
le nombre des équations étant égal ùl celui des fonctions de x qu'elles renferment.
Exemple. — Appliquons cette transformation au système de l'exemple précédent.
dx*-y = ''
dy dz .
Nous poserons
dz
les deux premières équations deviendront
dv dx^
dy dx"
et jointes à Téquation (3) elles formeront un système du premier ordre équivalant aujsystème proposé.
3&2. Lorsqu'un système d'équations simultanées a été ramené, comme on vient de l'expliquer, au premier ordre et mis sous une forme telle que
il est facile de démontrer que le système des équations intégrales qui en constitue la solution générale, doit renfermer autant de constantes arbitraires qu'il y a de fonctions de x et, par conséquent, d'équations dans le système.
Eu effet, par ces équations intégrales chacune des n lettres //, 5, u, V, etc., se trouve fonction de x. Figurons géométriquement la liaison de chaque lettre avec x par une courbe, et supposons qu'on prenne arbitrairement une certaine valeur x^ de x et les valeurs initiales correspondantes y,, ?,, ii^n t\.,. de y, z, w, v..- Le système des équations (1) fournira pour un accroissement dx de X les accroissements différentiels con'espondants de y, s, t/, v... en sorte qu'on passera ainsi du système des'points j-^, y^, 5^, u^, v,. .. au système des points infiniment voisins ir,, t/^, 5,, w,, Vj....
En opérant sur ces nouveaux points comme sur les précédents, et continuant de même, on voit qu'on pourra tracer les courbes
CAIXLI. INTÉ<;HAL 5U !
Y, Z, U, Y... de proche en proche, et comme les n points do ilépart 2/ç, 5p. u^, r^... ont été arbitrairement choiîjis, il y aura l)ien, comme nous Tavions anncmcé, n constantes arbitraires ilans le système des équations de ces courbes (*).
3&3. Bquatioiui simultanées linéaires. — Le système des équations simultanées, ramené au premier ordre comme on vient de l'expliquer, est dit linéaire lorsque les fonctions qui composent les seconds membres sont de la forme :
Py + Qi^ + Ru + Su + T,
P. 0, R, S, T étant des fonctions de la seule lettre x.
Il est à remarquer qu'un pareil système conduit toujours par Télimination des variables à une équation linéaire entre la variable conservée et la lettre x.
Soient par exemple les deux équations simultanées :
Télimination de z se fera simplement en tirant z de la première, qui donne
fê-«-«}f
Q d'où par dérivation ;
dz dx« dx ^ dx dx
dx^ Q Q
dz En portant ces valeurs de 5 et de -^ dans Téquation (2), on
obtient une équation linéaire du deuxième ordre en y, dont les coefficients sont formés avec ceux des équations proposées et leurs dérivées.
[*) Si les variables ou les coefficients des équations n'étaient pas réels, le même raisonnement ne cesserait pas de s'appliquer, mais il ne serait plus lascepUble de rinierprétalion géométrique que nous en avons faite.
Z\i COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL
Si donc, le système linéaire proposé avait ses coefficients •constants, on pourrait toujours résoudre les équations résultant Le Télimination des variables puisque les coefficients de ces léquations seraient constants également.
Exemple :
dx '
dz
di = ^'
d'où par élimination de z :
L'intégrale générale est
y = CjeW-i ^ c^e-W-» = Acosx + Bsm.v; connaissant //, on a 5 par dérivation
r = 7^ = Asinx' — Bcosx.
dx
354^. Méthode de d^%lemhert pour Flntéi^ation d'un système d^équatlons linéaires du premier ordre.
— D'Alembert a donné une méthode remarquable pour Tintégration d'un système d'équations simultanées linéaires du premier ordre. Cette méthode peut s'étendre à un nombre quelconque d'équations simultanées, mais nous nous bornerons à traiter le cas de deux équations.
Soient :
les deux équations données, où P, Q, V, F, Q', V, représentent des fonctions quelconques de la variable œ.
Ajoutons ces deux équations après avoir multiplié par un facteur arbitraire 6 la seconde : il vient
<*^ (si + « 5^) + (P + op')!/ + (Q + eQOz = V + ev.
CALCUL INTEGRAL Kio
Posons :
en définissant ainsi une nouvelle variable, Têquation (3) donne par dérivation
'' ' ctx ^ dx^ dx dx
Eliminons actuellement la lettre y de l'équation (2) en y portant les valeurs de y et de -y^ tirées des relations (3) et (4), nous
aurons ainsi :
Mais nous pouvons disposer du facteur arbitraire 6 de manière h annuler la parenthèse en faisant
et l'équation (5] se réduira alors à l'équation linéaire du premier ordre en t
équation que l'on sait résoudre (S31T;. Oii en tirerait, en supposant 6 connu, une valeur de t telle que
renfermant une constante arbitraire.
La valeur de 6 d'autre part est déterminée par l'équation (6) qui n'est pas linéaire, car elle s'écrit en la développant
Mais il n'est pas nécessaire d'en connaître l'intégrale générale. En effet, si Ton parvient à découvrir seulement deux fonctions 0| et 0, qui y satisfassent, ces deux fonctions donneront en les portant dans l'équation (7), deux équations différentielles distinctes qui, résolues en t^ conduiront aux deux intégrales :
:n6 COURS DE CALCUL DltTÉRENTfEL ET INTÉGRAL
c, et c, désignant deux constantes arbitraires distinctes intrtjduites dans les deux intégrations. En posant alors :
on aura deux équations auxquelles y et z devront satisfaire et q;ii fourniront ces deux lettres avec deux constantes arbitraires c, et c,. Les valeurs de y et 5 ainsi obtenues seront donc les intégrale^ générales du système proposé.
355. Cette méthode permet de résoudre le système doniutoutes les fois que les coefficients P, Q, P', Q', sont constants, ou plus généralement encore lorsque les rapports
p/ pi '
sont constants (*).
En effet, l'équation en 0 est satisfaite alors si Ton attribue à 0 les deux valeurs constantes qui annulent le trinôme
Ces valeurs 0, et 6, fournissent alors les deux intégrales particulières nécessaires à la solution.
Dans le cas particulier où ces racines sont égales, en désignant parOj leur valeur commune, l'équation en 6 peut se mettre sous la forme :
et son intégration complète est alors facile. On a :
dO
d'où, P' étant supposé constant,
; = - PdX,
(•) Dans le cas d'ailleurs où les coefïicienls P, Q, F, Q' sont coDstaols ^*' système s'intègre facilement par rélimination de Tune des deux Tariable> comme on Fa fait observer au § 353.
Iv étant uae constante arbitraire.
Mais cette intégrale générale n'est pas nécessaire, il suffit «l'en choisir deux valeurs particulières, et l'on prendra naturellement les plus simples.
On fera par exemple K = qo et K = 0 et l'on trouvera ainsi les valeurs
«fui, portées dans l'équation (7), fourniront (, et t^ et donneront ainsi la solution complète du système proposé.
B. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES RENFERMANT PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES
