GÉNÉRALITÉS

350. Les équations différentielles ou les systèmes d'équations différentielles que nous avons étudiés jusqu'à présent ne renfermaient jamais qu'une seule variable indépendante, et leK accroissements différentiels de cette variable étant supposés ♦^gaux. les autres variables n'entraient en réalité dans les équations que par leurs dérivées.

Lorsque les équations renferment plus d'une variable indél>endante, leur composition est généralement beaucoup moins .simple.

Ordinairement, les variables indépendantes étant supposées s'accroître par accroissements différentiels égaux, on ne rencontre dans les équations que leurs différentielles premières, mais on y voit figurer les différentielles de tout ordre des autres lettres.

Ces dernières différentielles sont d'ailleurs ou des différentielles totales ou des différentielles partielles répondant au cas où certaines variables indépendantes recevraient seules des

accroissements. Mais ces différentielles partielles peuvent toujours être consid(^rées comme le produit des déiiiées partielles correspondantes par une puissance convenable de la différentielle de la variable indépendante par rapport à laquelle la différentielle partielle est prise; en sorte qu'on est conduit à regarder en définitive les équations différentielles qui nous occupent comme formées avec des différentielles totales et des dérivées partielles.

Remarquons enfin qu'une équation qui renferme des différentielles totales devant être vérifiée pour toutes les variations possibles des lettres qu'elle contient, en l'appliquant au cas particulier où les différentes variables indépendantes varieraient seules, on obtiendrait un certain nombre d'équations aux dérivées partielles dont le système serait équivalent à l'équation proposée.

On conçoit que l'intégration des équations différentielles ainsi composées constitue un problème des plus difficiles ; on n'en connaît effectivement la solution que dans un très petit nombre de cas et nous nous bornerons à traiter ici les plus simples de ceux qu'on sait résoudre.

1® Équations aux différentielles totales.

357. Intégrale générale. Condition dMintégrablllté. — Supposons d'abord que l'équation proposée ne renferme que des différentielles totales et qu'elle soit de plus du premier ordre.

Soit, par exemple,

'1) ?dx + Qdy -h Rdz = 0,

cette équation où P, Q, H, représentent des fonctions de X, y, z.

On a vu, dans la première partie de ce Cours qu'une liaison entre x^ y et z telle que

conduisait par dérivation à une relation

(6) F'xdx + F\dy + F'.dz = 0r

entre les différentielles totales de ces mêmes lettres.

Si Téquation (a) renfermait une constante arbitraire c, on pourrait l'éliminer en tirant sa valeur de (a) et la portant dana (J))y et Ton obtiendrait ainsi une relation telle que

Ldx + Mdy + Ndz = 0,

de même forme que Téquation différentielle donnée.

On peut donc se proposer de rechercher une équation deforme (a)

renfermant une constante arbitraire et qui, par l'élimination decette constante, reproduise l'équation (1). Cette relation [w) sera dite Vintégrale générale de l'équation aux différentielle* totales.

Mais pour qu'une pareille relation existe, nous reconnaitron* d'abord que certaines conditions sont nécessaires.

L'équation (1) devant être vérifiée quelle que soit la manière dont varient les lettres qui y entrent, on peut d'abord supposer y invariable, ce qui conduit à l'équation :

(i R-7-=5: — P ou — = — 5»

^ ' dx dx R

et de même en supposant x invariable, on trouvera :

w^dz ^ dz Q

(3 R-- = — Q ou T- = — 5-

^ ' dy dy H

Ces deux équations qui déterminent les dérivées partielks^ d& z^ considéré comme fonction de œ et de y ne sont compatibles que-

si elles conduisent par dérivation à la même valeur de , . ,. ce-

^ dœdy

qui oblige les fonctions P, Q, R à satisfaire à la condition :

ou, en développant et en remarquant que P, Q et R sont defn fonctions de a? et de // directement et par l'intermédiaire de- z

\dg dx)^dx\dy dz ) dy\dz dxj'

OU enfin à cause des valeurs de -7^. -^ :

dx a y

L*équation proposée n'admet d'intégrale générale que si la condition (4) est satisfaite.

35S. Détermination de rintéf^rale générale. — Si

la condition d'intégrabilité est satisfaite, on pourra déterminer rintégrale générale de l'équation (1) en opérant de la manière suivante :

Posons pour simplifier

-R=^ "R=^^' la condition (4) s'écrit alors :

ou plus simplement :

si Ton convient d'indiquer par les crochets les dérivées complètes de p et de q par rapport ùl y et kx. L'équation (1), qui devient avec ces nouvelles notations

(1) dz=^pdx + qdy,

se décompose dans les deux relations :

dz .X dz

correspondant aux cas où x et y varient seuls, et si l'on obtient une fonction z de j? et de y satisfaisant à ces dernières rela-

tions, on sait {§ lO), que sa différentielle totale satisfera Lien à Téquation proposée.

L'équation (6), où y est traité en constante, rentre dans le cas des équations à deux variables ; supposons-la intégrée et résolue par rapport à 5 ; la valeur de z sera de la forme

Y représentant la constante d'intégration qui, dans le cas actuel, peut être une fonction arbitraire de y. Nous aurons à déterminer cette fonction inconnue de manière à ce que la valeur de 5 satisfasse à la relation (7).

Pour cela nous remplacerons z par 9 dans cette dernière équation qui deviendra

Son intégration fournira la valeur de Y avec une constante arbitraire; or cette valeur doit être indépendante de a?, mais il en sera effectivement ainsi en vertu même de la condition (4). En effet, Téquation (6) devenant identique lorsqu'on y remplace z par ^ peut être différentiée par rapport à la lettre y qu'elle renferme et comme, par l'interversion permise des dérivations :

on trouve ainsi :

hjdx'~dx\dy'^ d\ dy)'

£ /d? d? cnr\ fdpi

dx\dy^ d\dyj^ldyy

c'est-à-dire, à cause de (4)

^^^ dx \dy ^ d\ dyj Idx] "- "•

Cette relation exprime précisément que le premier membre de l'équation (8), d'où l'on tire Y, est indépendant de x, puisque sa dérivée par rapport à cette lettre est égale à zéro.

350. Application k un exemple. — Soit l'équation (i) {y -\-z)dx + (z + x)dy -h (X + y)dz = 0,

on a dans ce cas

et la condition (4) est bien satisfaite puisque

fdpl ^ 2z fdql

Idy] (X + yi« Idx]

L'intégration de l'équation (6) s'obtient immédiatement par la séparation des variables. On a:

dz dx

d'où

(î/ + ^)Gx + y) = Y,

Portant cette valeur dans (7), il vient, après réduction.

d'où

Y = y« + c, et enfin

^ x + y c'est-à-dire

xz + yx + zy = c.

Telle est l'intégrale générale de l'équation proposée.