Détermination de la «olatlon singulière
L'intégrale générale que nous trouvons ainsi sous la forme d'une équation telle que
représente une séine de surfaces.
Kn diffërentiant totalement cette équation et éliminant c entre Téquation (a) et l'équation de forme {b)
' dx dy "^ dz
qui en résulte, on doit évidemment retomber sur Téquation aMx différentielles proposées.
Mais il est clair qu'on satisferait également à cette équation si Ton supposait dans (a) la lettre c variable, à la condition que dans la relation (6') répondant à cette hypothèse :
dx dy dz de
dF
le terme — de disparût, car alors la variation de c n'influerait
en rien sur le résultat du calcul.
dF Or pour que — de soit nul, il faut ou bien que de soit nul, ce
qui ramène à
c = constante,
c'est-à-dire à l'intégrale générale, ou bien que
f y dF ^
^*) Tc = ''
ce qui donne par l'élimination de c entre les équations (a) et (a» une relation entre Xy y et z ne renfermant plus de constante arbitraire et constituant une solution singulière de l'équation (1).
Cette solution représente la surface enveloppe des surfaces F.
36 i . Cas où la condition d^intésrabilité n'est pas satisfaite. — Si la condition d'intégrabilité
n'est pas satisfaite, il n'existe pas en général de fonction s de T et de y satisfaisant à l'équation (1) de quelque manière que x
et y varient, mais on peut considérer la condition (4) comme une nouvelle équation à joindre à Téquation proposée, et, l'ensemble de ces deux équations établissant dès lors deux relation^ généralement distinctes entre x^ y et 5, conviendra à des sériei^ (le lignes et non plus à des séries de surfaces.
Pour déterminer ces séries de lignes, on pourra conduire le calcul comme dans le cas précédent. On arrivera ainsi aux deui relations :
Cette dernière, n'étant pas indépendante de ît, ne peut être i Jentiquement satisfaite par aucune fonction Y de y ; elle constitue alors, en laissant à Y sa complète indétermination, la seconde relation à adjoindre à l'équation donnée ou à l'équation ,7), qui peut la remplacer.
Le système des équations (7) et (8) fournira pour chaque détermination attribuée à la fonction Y une ou plusieurs lignes satisfaisant à la question. On pourra même choisir Y de manii^re il ce que ces lignes se trouvent sur une surface donnée
il suffira pour cela d'éliminer z ei x entre les équations (7;. 8
et (9) ; on obtiendra ainsi une relation diflférentielle en y Y et
dY
-7- qui déterminera la fonction Y.
(ly ^
Mais il ne faudrait pas en conclure que la liaison
(fui représente cette surface, satisfait à l'équation aux différentielles totales ; cette équation ne sera vérifiée que si l'on se déplace sur la surface en suivant les lignes représentées par l'ensemble des équations (7) et (8).
362. Application é, un exemple. — Soit par exemple l'équation (l) dz^aydx '\- hxdy.
La condition d'intégrabilité n'est pas vérifiée si a ^6.
L'intégration de Téquiition
conduit alors à la valeur
(7) 2 = axy 4- Y,
et l'équation (8) devient
Les séries de courbes définies par le système des relations (7) et '8) satisferont, quel que soit Y, à Téquation proposée. Si Ton fait par exemple
Y = y« + c, les équations (7) et (8) deviennent
(7'] z = axy + y« + c,
et leur ensemble représente les sections par un même plan d'une série de paraboloïdes hyperboliques.
2* Équations aux dérivées partielles.
363. Formation des équations aux dérivées partielles I intégrales complètes | intégrales générales. —
Abordons actuellement l'étude des équations différentielles qui ne renferment que les dérivées partielles de la fonction inconnue, et pour nous rendre mieux compte de la nature de ces relations et de la forme des équations intégrales auxquelles elles doivent nous conduire, reportons-nous à ce qui a été dit dans la première partie de ce Cours au sujet de l'élimination des constantes et des fonctions arbitraires.
On se souvient que Télimination des constantes arbitraires dans une relation à deux variables telle que :
:i26 COmS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
nous avait conduit à une équation différentielle ordinaire d'ordre n telle que :
entre x, y et les n premières dérivées de y par rapport à j. Réciproquement, Tintégration d'une équation de forme \i nous a ramenés à une équation de forme (t) qui, sous le nom (Vintégrale générale^ représente la solution la plus complète de Téquation différentielle proposée.
De même ' dans le cas d'une équation renfermant plusieurs variables indépendantes, on a vu que la différentiation pouvait conduire à des relations indépendantes des constantes arbitraires ; mais on a reconnu que dans ce cas la marche h suivre pour effectuer cette élimination restait indéterminée dans une certaine mesure.
Si l'équation proposée
{3) F(x,î/,M,u,...2;c„C2,...Cn)=0
renferme un nombre de constantes égal à celui des variables indépendantes, l'élimination peut se faire au moyen des n équations du premier ordre
obtenues en différentiant Téquation (1) par rapport aux variables indépendantes, et elle conduit à une relation telle que
,„, ,1 dz dz dz dz \ ^
entre les variables, la fonction z et ses n dérivées partielles du premier ordre.
Réciproquement étant donnée une équation aux dérivées par-
tielles du premier ordre, à n variables indépendantes, rentrant par conséquent dans la forme de Téquation (5), on peut se proposer de retrouver une relation de forme (3), renfermant n constantes arbitraires, et régénérant Téquation proposée par rélimination de ces constantes : une pareille relation constitue ce qu'on appelle une équation primitive complète ou une intéfjrale complète de Téquation donnée.
Mais on a vu également qu*une relation arbitraire
établie entre deux fonctions connues ç^ et ç, de x, y, ti, v... et de s pouvait conduire, par Télimination de la forme arbitraire *, à des relations différentielles formées avec x, i/, u, v,., z et les dérivées partielles de z.
Une équation aux dérivées partielles doit donc pouvoir s'intégrer sous la forme d'une liaison arbitraire entre deux fonctions déterminées des variables; une intégrale ainj^i composée reçoit le nom dHntégrale générale.
36-4. Solutions sinsulières t passas® d*one Inté- Si*Alo complète À une intégrale sénérale. — Lorsqu'on connaît une intégrale complète d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre, on peut en déduire une solution singulière par une méthode très analogue à celle que nous avons exposée au (S 301) pour les équations ordinaires du premier ordre.
L'équation différentielle donnée, d'après ce que Ton vient de voir, devant résulter de Télimination des constantes c^. c,... c„ entre l'intégrale complète
^3) F(x,y,u,u...z;c,,c„...Cn) = 0,
et les n équations (4)
le résultat de cette élimination ne sera pas modifié, et par suite. Téquation (3) continuera à représenter une solution de Téquation proposée si au lieu de considérer les lettres c^, c,... c, comnjH des constantes, on les remplace par des fonctions de x,y,u.r...: à la condition d'imposer à ces fonctions des liaisons telles qmles équations (4) ne soient pas modifiées.
Or, ces équations deviennent dans cette nouvelle hypothè!?e :
il faudra donc que les fonctions c,, Cj... c^ rendent les quantités^ :
identiquement nulles.
On pourra satisfaire à ces conditions en posant
Ces équations, au nombre de n, détermineront les valeurs des^ fonctions Cj, c^...c^. En portant ces valeurs dans Téquation j3,
(*) Les fondions c^yC^,.,Cn devant renfermer les variables indépendante.^ X, xfy u, V... et la fonction z, leurs dérivées par rapport à. Tune des Tariahle> indépendantes, x par exemple^ sont, d'après la règle des fonctions composées :
dc^ dc^ dz dx dz dx' ' dc^ dcj dz dx dz dx* etc.
Ce sont ces dérivées que nous désignons pour simplifier par 1 -r-^ r 1 T^ ^^-
on obtient une relation ne renfermant plus ni constantes ni fonc^ tions arbitraires et constituant une solution singulière de Téquation (5).
Mais on peut, aussi, au lieu de considérer les fonctions c^, €,... comme indépendantes les unes des autres, les supposer liées entre elles, de façon par exemple & ce que p d* entre elles soient exprimées en fonctions des n — p autres.
Supposons, pour fixer lesidées^ que c^ c,... c.., soient fonc* tions de c^.^ et c. par des relations telles que
les fonctions 4^1 ^t" - ^'«-s restant d*ailleurs arbitraires. Les équations (4') deviendront alors :
+Vf'c '^+fv ^« + ... +rc ^iî^+Pc ¥—"1=0.
F' +F',-+/'f'. -^ +F'. -^4-...+ F'c ^i2=.' + F'. V^l^»l »^' 'dt/^V ^dcn^r '^dc^r ^"^ ''-«dc.-,^' 'n-VL di/ J
etc.
Elles se réduiront aux équations (4] si Ton pose :
^*'id^,+^'»dï;:i:+ ••• + *' '-«d^, + ^--«~^'
\ ' 'i dcn ^ '* dc« ^ ^ ' '»-« dCn ^ ' '» "• •
Ces deux conditions détermineront les fonctions c^^i, c^ et par suite, au moyen des relations (8) les fonctions Ci,c,...Cn, : en portant les valeurs de ces fonctions dans Téquation (3) on obtiendra une solution de Téquation différentielle, solution dépen«
530 COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTÉCaUL
dant. on le voit,desn — 2fonctîons <{/p 6,-.. <^», qui pourront être arbitrairement choisies (*).
En particulier si Ton suppose qu'une seule des lettres e soit fonctions des n — 1 autres, on obtiendra une intégrale dont la forme dépendra d'une seule fonction arbitraire : ce sera une intégrale générale.
On voit ainsi comment une intégrale générale peut se déduire d'une intégrale complète. Réciproquement , étant donnée une intégrale générale, on peut généralement attribuer à la fonction arbitraire une détermination qui introduise dans la solution n constantes arbitraires; on obtiendra ainsi une intégrale complète, mais cette intégrale complète pourra différer de celle qu'on connaissait déjà«
365. Application à un exemple. — Afin d'éclaircir ces généralités par un exemple, prenons l'équation
OÙ c^ et c, sont des constantes arbitraires. Cette équation qui représente toutes les sphères du rayon r ayant leurs centres dans le plan XOY, peut être considérée comme une intégrale complète de l'équation aux dérivées partielles
im'<%h ']'—='■
ou
en posant pour simplifier, suivant la notation usuelle.
— =:p,-^z=q. L'équation (5) exprime la propriété commune à
toutes les sphères (3) d'avoir une normale de longueur constante.
(*) L'élimination qui conduit à la solution ne peut généralement s'effectuer que lorsqu'on a adopté pour les fonctions <j»i, ({^a*- <les formes déterminées: on ne peut donc exprimer la solution en fonction de t|<|, (l*].., en laissant à ces formes leur indétermination, mais la solution n'en dépend pas moins de n— 2, fonctions arbitraires.
Si Ton remplace dans Tintégrale complète les constantes c, et c, par des fonctions des variables assujetties aux conditions :
dCj
dF de, ~"
c'est-à-dire :
on obtient la solution
singulière
qui représente le système des deux plans z==±r; ces deux plans, enveloppes de toutes les sphères (3), satisfont bien effectivement à la condition géométrique exprimée par Téquation différentielle.
Si Ton établit entre c^ et c, une relation arbitraire telle que
ces deux lettres représentant, (Jans l'intégrale complète (3), les coordonnées arbitraires du centre de la sphère dans le plan XOY . cela revient, on le voit, à choisir parmi les sphères de l'équation (3), celles dont le centre est situé sur la courbe (8).
L'élimination de Cj et c, effectuée entre Téquation (3 ) et sa dérivée, en tenant compte de la relation (8), conduira donc à l'enveloppe de cette série de sphères, c'est-à-dire à une surfacecanal dont la forme dépendra d'ailleurs de celle de la fonction t^. Une pareille surface doit effectivement satisfaire à l'équation différentielle, car sa normale est constante en longueur comme celle des sphères qu'elle enveloppe. L'ensemble de toutes les surfaces-canal que Ton pourra ainsi obtenir en modifiant arbitrairement la fonction <];, constituera Y intégrale générale de l'équation (4).
On voit sur cet exemple qu'une intégrale complète représentant une infinité de surfaces formant autant de séries que cette intégrale renferme de constantes arbitraires, la solution singulière est l'enveloppe générale de toutes ces surfaces, tandis que l'intégrale générale est formée par les enveloppes des séries par-
ticulières de surfaces qu'on peut trouver dans l'intégrale complète, en groupant ces surfaces suivant une loi quelconque.
Etant connue l'intégrale générale, il est généralement facile de retrouver une intégi^ale complète.
Ainsi dans l'exemple précédent, le système des relations
(X - c,)« + (^y - ^(ci))' + z« — r« = 0,
représentant l'intégrale générale, si l'on suppose c, constant et si l'on désigne par o, la constante ^[c^^ la première des équations (10) reproduit l'intégrale complète (3) et la seconde n'a plu?? de raison d'être conservée, puisqu'alors la quantité
((.^~c,)+(i/-^K))f(c,))dc„
qui se trouve égalée à zéro par cette équation, s'annule par le fait de do^ = 0.
Mais on pourrait aussi retrouver une intégrale complète en introduisant deux constantes nouvelles, en posant par exemple
Les équations (10) deviendront alors :
Ti'élimination de c^ entre ces deux équations conduit alors à l'équation
qui représente une infinité de cylindres de révolution de rayon r ayant leurs axes dans le plan XOY ; ces cylindres effectivement ont une normale constante égale à r : c'est une autre intégrale complète de l'équation différentielle (5).
Cet exemple suffira pour faire comprendre la multiplicité des solutions dont une équation aux dérivées partielles du premier ordre est susceptible, et pour montrer aussi les rapports qui rattachent entre . elles ces différentes solutions. On conçoit
d*âprè9 ces résultats, que les équations aux dérivées partielles tl ordre supérieur au premier, doivent conduire à des combinai-, sons encore plus complexes ; mais nous ne pouvons sans dépasser les limites de ce Cours, aborder Tétude générale de ces équa-^ tiens dont la théorie, dans Tétat actuel de la science, est d*ailleurs fort incomplètement établie.
Nous nous bornerons à traiter quelques cas simples, comme, nous Tavons fait pour les équations différentielles ordinaires.
300. Equations aux dérivées i»artleUe0 qui peu* vent être ramenées k des équations ordinaires. —
Remarquons d'abord que si Téquation aux dérivées partielles :
/ dz dz d: dz d^z d^z d«z d»; d»r d^z \ ^
ne renfermait, comme cas particulier, que les dérivées partielles de la fonction par rapport à une seule des variables, l'intégratien pourrait s'effectuer, abstraction faite des autres variables, avec cette seule différence que les constantes introduites de\Taient être remplacées par des fonctions de ces autres' variables. Ainsi, par exemple, Téquation
±-+Pj = Q,
dx
OU P et Q seraient fonction de x et y est une équation aux dérivées partielles, puisque z est fonction de x et de y d'après cette équation même.
Cependant on pourra l'intégrer comme une équation linéaire ordinaire, en y considérant la lettre y comme invariable à la condition de remplacer la constante d'intégration par une fone* lion arbitraire de cette lettre. On trouvera :
les signes / portant bien entendu sur la lettre x seulement.
36^. On peut, dans certains cas, ramener à la forme simple que nous venons d'intégrer une équation dififérentielle renfermant des dérivées relatives à plusieurs lettres. Ainsi soit 1 équation
dxdy dx
ds
OÙ P et Q sont des fonctions de x et de y. En posant -y =P-
dx
elle devient
on en déduira p d'après le calcul du paragraphe précédent, et l'on aura ainsi
équation qu'on intégrera à son tour en y regardant y comme invariable.
36S. BquatioDS linéaires du premier ordre aux dérivées partielles. — Une équation aux dérivées partielles du premier ordre et linéaire par rapport aux dérivées est de la forme
X^ + YlJi + uf + ...=/.
dx dy du *
X, Y, U... Z étant des fonctions composées avec les variables Xy y, w, V... et la fonction x.
Nous allons montrer que la résolution d'une pareille équation peut toujours se ramener à celle d'équations simultanées ordinaires.
Supposons un système simultané ramené à être du premier ordre (§ 351) et composé de trois équations à quatre variables x,yyU,v par exemple.
Soit :
système, qa*on peut écrire également sous la forme plus symétrique
en désignant par X, Y,U, Y des fonctionsde w^y^u, v, dont Tune,
X par exemple, reste arbitraire, puisque d'après les équations (1),
Y U V les rapports y» y» y sont seuls déterminés.
Soit :
le système intégral correspondant, dont on a démontré résistance, ce système étant supposé résolu par rapport aux trois constantes qu'il renferme.
Les équations (3), qui égalent les fonctions 9|9 9t'?t ^ ^^^ constantes, doivent définir y,uetv comme fonctions de la quatrième lettre x de manière à obliger les accroissements différentiels simultanés dyj du, dv et dœ è, satisfaire aux relations (2).
Par conséquent, le système des relations :
[ dx dy du dv '
(4) h?îdx+$îdy+^du + ^dn = 0,
' à dx dy du dv
f^dx+^dy + ^du + $»d» = 0, ^ dx dy du dv '
obtenu en différentiant le système intégral (3) doit être équivalent aux équations (2).
Il en résulte qu'on doit avoir identiquement, en remplaçant dans les équations (4) dx^ dy^ du et dv par des quantités pro*
portionnelles :
dx dy du dv
^ ^ ^ dx dy du dv
X5?î + Y^+U^ + V$l = 0, ' dx dy du dt
et par suite 9,, 9,, f^ sont des fonctions de x^ 1/, u^ t^dont les dérivées partielles qvlx, y^u^ v satisfont à Téquation aux dérivées partielles
(6) xî|i + Y^ + U^+V^^ = 0,
dx dy du dv
Réciproquement, étant donnée une équation aux dérivées partielles linéaires et sans second membre, telle que
' dx dy du dv
OÙ X. Y, U, V sont des fonctions connues de a?, y, u, v, et s une fonction inconnue de ces mêmes lettres, si Ton forme le système des équations simultanées
(9\ dx dy du dv
et si après avoir déterminé le système intégral qui en résulte, on résoud ce système par rapport aux trois constantes arbitraires qu*il doit renfermer, on sera conduit à trois relations, telles que
et les fonctions ç,, ç,, ç,, que Ton aura composées par cette série d'opérations, représenteront trois solutions de Téquation aux dérivées partielles proposée.
. Je dis de plus que toute fonction
composée avec ces trois fonctions Ç|,?t, Çg satisfera également à Téquation (7),
En effet, d'après la règle des fonctions composées, les dérivées partielles de II par rapport &ar,y,u,t; seront :
dx d^^ dx dç, dx dp, dx '
dU dlJ dy, dn dy, dH dy^
dij "~ dy, dy dy, dy d^ dy*
dll dn dy, dll dy, dn dyj
"Su dy, du dy, du dy, du'
dn dn dyt dn dy, dn dy,
do dy, dv) dy, dt* dy, dv
et en portant ces valeurs dans (7), on trouvera
résultat identiquement nul, puisque, d*après les équations (5), chaque parenthèse est égale à zéro.
Enfin, on peut encore démontrer que toute fonction 9 (a?, y, u, v)
satisfaisant à l'équation (7), rentre dans Ja forme n(y^,y„y,).
En effet, les lettres y,UyV peuvent s'exprimer ert fonction de. .r,y^,ç,,y,f); eu les remplaçant dans la fonction 6 par leurs valeurs, cette fonction prendra la forme
H{3c, yi, y,, yj),
Les dérivées de cette fonction par rapport aux lettres y,ti,v seront formées exactement comme celles de la fonction II ; on aura par exemple : ,
dy dy, dy dtf^dy dy,.dy *
La dérivée partielle par rapport à œ sera seule différente,
{*) Pour s*en rendre compte sur un exemple simple, supposons par exemple que les trois fonctions yi, y, et y, soient ;
on en déduira :
parce que la fonction H renferme x de deux manières, directement d*abord, et ensuite par l'intermédiaire des fonctions 9^ 7^,9,. Cette dérivée sera donc :
dx \dx) d<p| dx
dH d^j dH d9j d^i dx d^, dx
en désignant par (77-) la dérivée de H prise par rapport à la
lettre œ en traitant f^ 9, et 9, comme des constantes*
En portant ces dérivées dans l'équation (7) à laquelle elles doivent satisfaire par hypothèse, on trouvera :
Mais les trois parenthèses étant nulles, l'équation se réduit à
c'est-à-dire à
\dx
condition qui exprime que la fonction H ne renferme la lettre x que par l'intermédiaire des fonctions 9^,9,,^^ et rentre par conséquent dans le type général des fonctions II.
La relation
qui représente ainsi la solution la plus géftérale de l'équation aux dérivées partielles (7), en est dite Vintégrale générale. On remarquera d'autre part qu'en égalant la fonction II à une constante arbitraire K, on obtient une intégrale du système simultané (2). En effet, l'équation
peut remplacer l'une quelconque des équations (3), car jointe aux
deux autres elle oblige évidemment les trois fonctions f^ , 9, et ç, à rester invariables.
309. Revenons actuellement au cas général où Téquation linéaire aux dérivées partielles contient un second membre et renferme la variable elle-même dans ses coefficients*
Soit par exemple :
' dx ' dy du dv
cette équation, où X, Y, U, V et Z sont des fonctions données de J7,y,t*, V et s.
Puisque z, par le fait même de cette équation, se trouve fonction de a:, y, u et v, la liaison entre z et ces variables pourra s^exprimer en égalant à zéro une certaine fonction inconnue 9 de j?,y,ti, v et 5.
De Téquation
?;x,i/,îi,u,z)=o,
ainsi établie, on déduit, d'après la règle de Sluze :
dz dx
dz \dyj
dy
etc.
et en portant ces valeurs dans Téquation (8) à laquelle elles doivent satisfaire, on obtient la condition
qui devra être vérifiée par la fonction inconnue 9.
Mais cette équation rentre dans le type du paragraphe précédent, car elle est homogène par rapport aux dérivées de ç,et ses coefficients, ne renfermant que les variables x,y,UyV et z, sont indépendants de la fonction ç elle-même.
On pourra donc lui appliquer la méthode indiquée, qui consiste à résoudre le système simultané
dx ^dy d« rfo ___ dz
à mettre le système intégral correspondant sous la forme :
Ci = ?i(«,y,u,v,z), :
Cl == ?i («f Vf u, tj, z\
et à poser
II représentant une fonction arbitraire.
Telle est la valeur la plus générale qui conviendra à la fonction ip. En posant
on obtiendra donc la relation la plus générale qui, établie entre X, y,UjV et ;;, satisfasse à l'équation différentielle proposée.
L'équation intégrale que nous venons d'obtenir représente Vintégrale générale de l'équation proposée, mais comme on a démon* tré que toute relation entre or, 2/,t^,t;... et s, satisfaisant àl'équa* tion proposée, devait nécessairement rentrer dans cette forme, toute intégrale complète doit s'y trouver également comprise. II suffira pour obtenir une' intégrale complète, d'adopter par exemple, comme forme particulière de la fonction II, la relation linéaire t
ou c^,c^,c^^c^ seront quatre constantes arbitraires.*
« 3*70. Application & quelques exemples. — 1* Soit
la liaison
dz , dz , dz
. L'application de la règle précédente conduit au système simaltané
dx __dy ^du ^ dz X y u mz
qui s*intègre sans difficulté et donne comme systëme intégral :
La liaison la plus générale satisfaisant à Téquation proposée sera donc de la forme
0U| en résolvant par rapport à ^t
Cette équation définit une fonction homogène de degré m , quelconque d*ailleurs, car si Ton pose
on voit, d'après la relation précédente, que
r(ix, iy, tu) = «-^'^(^ '?)='" f^""^ y^ ^î •
2^ Prenons comme second exemple Téquation aux dérivées partielles caractéristique des surfaces cylindriques et proposonsnous comme exercice l'intégration de cette équation.
Désignant par p et q les dérivées partielles en x et y de la fonction js, on a :
On est conduit aux équations simultanées :
dx ^dy ^dz
dont les intégrales peuvent s*écrire :
C|=rx — az, c^^:sy — bz.
L'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles proposée sera donc :
n[(x-az),(i/-5^)] = 0,
et Ton retrouve bien ainsi Téquation générale des cylindres en quantités finies.
Ces deux exemples montrent suffisamment comment doit être appliquée la théorie précédente.
3*71 . Squattons non linéaires du premier ordre.
— On sait ramener d'une façon générale l'intégration d'une équation du premier ordre, quel que soit le nombre des variables indépendantes qu'elle renferme, à celui d'un système d'équations différentielles ordinaires simultanées (voir Serret, Calcul diff. et intégral, S 791 et suivants).
Nous nous bornerons à traiter le cas de deux variables indépendantes, mais l'étude de ce cas particulier suffira pour faire comprendre l'esprit général de la méthode.
Soit :
une équation aux dérivées partielles ot p et q représentent, suivant la notation usuelle, les dérivées partielles de s par rapport h T et h y. *
Si l'on connaissait la liaison entre t, y et z qui satisfait à l'équation (1), on pourrait en déduire par dérivation les valeurs de p et de g qui se présenteraient ainsi sous la forme de fonction» de^ j:, y et s, et ces dérivées satisferaient à la condition
(Pz ,
ordinaire exprimant que , , peut s obtenir indifféremment en
dérivant p, c'est-à-dire -r-, par rapport à y,ou ç, c'est-à-dire
-7^, par rapport à J7.
dy
CALCUL INTËCRAL 543
En désignant pour simplifier par hr ^^ hy M^^ dérivées
complètes de p et q par rapport à y et à ^r, c'est-à-dire les quantités
dp ^ dp ^ dq ^ dq
dy ^ dz dx ^ dz
la condition en question s*écrira:
Adjoignons à l'équation (i) une relation indéterminée pour rinstant, telle que
où c^ représente une constante arbitraire.
Le système des équations (1) et (3) déterminera p et q' en fonction de or, j/ et de z, et si nous choisissons la fonction x de manière à ce que la condition (2) soit vérifiée, on sait (S 35S) qu'on pourra intégrer l'équation aux différentielles totales :
(4) z=ipdx-^qdy^
et trouver par conséquent une expression de :; en rr et y, telle que
renfermant une constante arbitraire c, et admettant p et q pour dérivées partielles. Cette fonction satisfera donc à Téquation (i), puisque petq ont été calculés en tenant compte de cette équation, et comme d'ailleurs les valeurs de p et gr qui entrent dans l'équation (4) renferment déjà une constante arbitraire c,, la solution ainsi fournie par l'équation (5), renfermera deux constantes arbitraires et sera par conséquent une intégrale complète de l'équation (1).
Tout revient donc à déterminer la fonction t: de manière à ce que la condition (2) soit satisfaite.
Or, si Ton dérive les équations (1) et (3) successivement par rapport à a? et à y, on trouve :
dx^*^dz^ dp Idxi ^ dq ldx\
dy ^ ^ dz ^ dp Ldi/J ^ dq LdyJ dy^^dz^ dp Idy] ^ dq Idy]
L'élimination de j^ 1 ( c est-à-dire ^ + P^) ^^^^^^ ^^^ ^^"-^
premières et de j —^ [c'est-à-dire ^ + 7 j^) entre les deux dernières conduit à ;
(dic djs\ dj /dj dçX di:
^ dx^^dl) dp^Xdx"^ ^dz) dp [dxj d^ diz d^ dis
55' dp ""dp" dq
rdpl \dy ^"^dz) dq \dy ^ "^dz) dq \jdy\ dç dn df du
dq dp dp dq
En portant ces deux valeurs dans Téquation de condition ;} , on obtient Téquation linéaire homogène du premier ordre :
d^dTz d^dK /^, df\ dn dp dx '^ dqdy^ Y dp^ ^ dq) dz
-(s+pS)i-(i5+,s)^==..
à laquelle la fonction ic doit satisfaire et qui permet de la déterminer d'après la théorie du (S 36S).
Si l'on prend pour ic une solution particulière quelconques, de Téquation (8), les valeurs de p et q déduites du système
?{x,y,z,p,q)=:0, «1 {x, î/, z, p, q) = Cj,
fourniront par l'intégration de l'équation (4) une intégrale complète de Téquation proposée, et de cette intégrale complète, on pourra déduire une intégrale générale par la méthode exposée au (S 364).
3*72. Application & un eKemple* — Prenons par exemple l'équation
(1) z— pq = 0.
L'équation (8) devient :
L'intégration de cette équation se ramène à celle du système simultané :
dx dy ^ dz ^ dp __ dq
Une des intégrales de ce système s'obtient par l'égalité des rapports extrêmes qui donne
dx = dq^
c'est-à-dire
X — q = constante,
en posant
on a une solution particulière de Téquation (8'). Le système des équations :
doit donc fournir les valeurs dep et q et Ton trouve :
l'équation aux différentielles totales qui donnera z est donc :
d j = --^- dx -f (x — Ci)dî/,
et son intégration s'effectue sans difficulté par la méthode du S 358.
On trouve d'abord dans l'hypothèse de dt/ = 0 ,
dz dx
c'est-àrdire, en désignant par Y une fonction arbitraire de y,
z = Y(x— -Cj),
puis la dérivation de cette valeur et son identification avec q
conduit à :
dY , .
c'est-à-dire
Y==i/ — Cj,
en désignant par c, une nouvelle constante. Donc en définitive
est l'intégrale complète cherchée.
Une intégrale générale s'obtiendra en établissant entre les constantes c, et c^ une relation arbitraire
et en éliminant c, entre les deux équations et
3'73. — Nous nous bornerons à dire quelques mots des équations aux dérivées partielles non linéaires eu linéaires, mais d'ordre supérieur au premier : Tintégration de ce genre d'équations présente presque toujours d'insurmontables difficultés, et Ton ne connaît pas de théorie générale pour la solution de ce
problème.
Si l'équation est linéaire, et qu'elle soit privée de second membre, elle jouit des deux propriétés démontrées au paragraphe 329, pour les équations linéaires ordinaires, à savoir que :
!• Si une fonction des variables indépendantes satisfait à l'équation proposée, cette fonction multipliée par une constante y satisfera également ; .
2** Si plusieurs fonctions sont individuellement solutions de l'équation proposée, on obtiendra une solution plus générale en
faisant la somme de ces fonctions multipliées respectivement chacune 'par une constante arbitraire.
374. équations auiL dérivées partielles linéaires homogènes et A, eoefflelents constants. — Si les coefticients d'une équation aux dérivées partielles linéaire et homogène sont constants, l'équation en supposant deux variables indépendantes S6ra de la forme
(•' '.^•^(«•ë+».|)+('^ê+«.ET, + '=.3p)
Le résultat de la substitution de
sera
^ax+py j^^^ + (B,a + B, P) + ;CoC:* + C,«p + C,P») + ...] •
ou
en désignant par <p(a,0) la parenthèse.
Si donc (X et 0 sont choisis de manière à satisfaire à Téquation caractéristique
^ou+pir^ et par suite aussi ce^^^^ sera une solution de l'équation différentielle proposée.
On obtiendra une solution plus générale encore en posant
le signe S s'étendant à tous les systèmes de valeurs en nombre infini qui, attribués à a et g, satisfont à l'équation (2) et la lettre c représentant une constante arbitraire par laquelle est multiplié chaque terme.
L'équation caractéristique résolue par rapport à ^ fournît des valeurs de p, telles que :
Si parmi ces valeurs il y en a qui se présentent sous la formé linéaire
p=rm«-f n,
à chacune de ces racines correspondra dans l'intégrale trouvée une fonction arbitraire; en effet, les termes correspondant à cette valeur de ^ seront de la forme
ou
^ga*+<w«+»«)y
cc»ye«('+my)^
leur somme sera :
et le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs possibles de a avec autant de constantes arbitraires qu'il y a de terme, leur ensemble représentera évidemment une fonction arbitraire de {x + my).
Cette partie de l'intégrale pourra donc s'écrire, en désignant par * une fonction arbitraire :
e"^ *(x + my)
et à toute valeur analogue de g correspondra un terme semblable.
3*75 . Application à, l'équation des eorAem vibrantes.
— Proposons-nous de résoudre comme application Téquation :
(i(« ^ dx
qui se présente en physique mathématique dans le problème des cordes vibrantes.
L'équation caractéristique est, dans le cas actuel,
et elle se décompose en :
P = -h aa,
L*intégrale fournie par la théorie précédente sera donc :
les fonctions * et V étant arbitraires.
370. L'équation des cordes vibrantes peut encore s'intégrer par un artifice de calcul ingénieux qull est utile de connaître. Posons :
ursx + aty
xett sont ainsi fonctions de u et de t;, et Ton a :
