QUESTIONS DIVERSES

trouve déterminée par certaines propriétés s* appliquant à des valeurs espacées de quantités finies (*).

Le procédé pour la recherche de ces fonctions consiste à transformer Téquation de condition par des diiférentiations convenables en une relation différentielle. On y parvient généralement sans difficulté, et les quelques exemples suivants suffiront pour faire comprendre Tesprit de la méthode à suivre ;

1* Trouver une fonction y = ç(j"), telle que :

La courbe représentant la fonction devra jouir de cette propriété que l'ordonnée MP d'un point quelconque M soit la somme des ordonnées fn^Pi^m^p^ de deux

points

et m^ dont

les abscisses 0/>,, 0;?, ont pour somme Tabscisse OP, mais qui sont indéterminés d'ailleurs.

Dérivons l'identité (1) par rapport à ^r^ d'abord,

et par rapport à x^ ensuite, nous trouverons •

d'où

La dérivée de la fonction cherchée est donc constante, puisqu'elle est la même pour les deux valeurs quelconques x^ . et x^ de la variable ; et par suite cette fonction doit être de la formé

yz=zax-\-b.

(*) Si l'on suppose la fonction inconnue figurée par une courbe, les conditions analytiques en question se traduiront par une relation géométrique entre des points situés sur la courbe à des distances finies les uns des autres.

5o2 COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL

Mais en portant cette expression dans la condition (1), on reconnaît que cette condition ne peut être identiquement satisfaite que si la constante b est nulle.

Donc enfin la fonction cherchée est

9(x) = ax,

et sa courbe représentative est une droite passant par lorigine.

On peut traiter les cas suivants par une méthode entièrement analogue.

2® Soit la condition :

on a

donc

X| 9'(X|) = X2 9'(xj) = constante = a.

d'où Téquation différentielle

dij a

dx X

qui s'intègre immédiatement et donne :

y = al.x 4- b,

La condition (1) détermine la valeur de la constante b, qui doit être nulle : donc enfin

9(x) = aLx,

3** Soit encore la condition

on a :

donc