QUESTIONS DIVERSES

d'où

Z.i/ = ax + 6,

La condition (1) donne encore dans ce cas 6 = 0; donc enfin :

4* Il peut arriver que pour la formation de lexpression constante en fonction de x plusieurs différentiations soient nécessaires. Si Ion prenait, par exemple, la condition :

on trouverait, après une première différentiation, effectuée successivement par rapport à o?^ et à x^

?'(^t + X,) + v'ixj — X,) =9'(x,) ?(x,), ?'(*! + *t) — 9'(^t — ^i) = 9(*i) 9'(-^t)-

Mais ces relations ne permettraient pas d'éliminer à la fois ç(^i + ^i) et(p'(a?, — a?,), ce qui serait nécessaire pour isoler les expressions dépendant de x^ de celles qui sont formées avec 2*,, conformément à la marche suivie dans les cas précédents. Une seconde différentiation par rapport kx^ et à x^ donne :

9" (Xt + X,) + 9" (Xt - x.) = ?''(x,) 9 (X,), 9"(xi + X,) + 9"(X| - x.) = 9(x,) 9''(x,),

la méthode s'applique alors sans difficulté et conduit à la relation

; V = > V = constante = a,

9(Xi) 9l*i)

équivalente à l'équation différentielle

ax*

Cette équation linéaire et à coefficients constants s'intègre sans difficulté et donne :

Portant cette expression dans (1), il vient :

relation qui ne peut se réduire à une identité en ^r, et x^ que si c, et c, sont égaux à lunité. La fonction la plus générale répondant à la question est donc

en désignant par a la constante arbitraire v^ qui peut recevoir telle valeur réelle ou géométrique qu'on voudra lui assigner.

STS. Variation d'une Intégrale définie. — Étant donnée une fonction \ de x renfermant une constante arbitraire a ti

une intégrale définie, telle que :

t/Xo

nous avons vu (S 254) que l'accroissement différentiel de cette intégrale, résultant d'accroissements rfa, dx^ dx^ attribués à la constante a et aux deux limites, avait pour expression

dl = Vidx^ — VodXo + T'* ^ dx = rVdxl*' + r**^ dx.

t/xo «« L Jxo c/i-o aa

Considérons actuellement une intégrale

portant sur une fonction Y composée non plus seulement avec /et une constante arbitraire, mais avec x^ une fonction arbitraire y de iP, et les dérivées y*^rf,y"\,.^ de cette fonction (*). Propo-

(*) II' ne sVgit dans toute cette étude que de quantités et de /onctions réelles.

sons-nous de calculer raccroissement différentiel de Tintégrale I, lorsqu^on substitue à la fonction y, dont la forme est entièrement indéterminée, une fonction infiniment peu différente, mais quelconque d'ailleurs.

Nous désignerons sous le nom spécial de variations et nous noterons par la lettre 8 les accroissements infinitésimaux qui résulteront du changement de forme de y pour les différentes variables qui peuvent en dépendre {*). On pourra d'ailleurs considérer différents ordres de variations analogues aux différents ordres des différentielles ordinaires; nous noterons par 3', 3*... les variations des 2*^, 3**^ ... ordres.

Cela posé, d-après le théorème général sur la différentiation totale applicable évidemment aux variations, la variation de rintégrale I sera égale à la somme des variations produites par celle de Y, qui altère les éléments même de l'intégrale et par celles de x^ et j^,, qui en modifient les limites.

Cette dernière partie s'obtient sans difficulté; elle est égale, conmie dans le cas simple rappelé plus haut, à

V, 5x, — Vo5xo ou

Quant à la partie de 31 provenant de la variation de Y, nous calculerons pour l'évaluer la variation de Y, et nous admettrons pour ce calcul que Ix soit égal à zéro, c'est-à-dire que nous prendrons pour ly la variation de cette lettre correspondant à une même valeur de x.

Si Ton suppose la liaison

(^ On peut s'expliquer la continuité possible, de ces chfingetnents de forme et des variations qui en résultent en supposant la fonction remplacée par son développement, suivant lalsérie de Maclaurin par exemple ; la variation de la fonction s'obtient alors par les accroissements différentiels des coefficients du développement et de la continuité de ces accroissements résulte celle des variations de la fonction. La continuité de ces variations entraîne d'ailleurs la possibilité de maxima et de minima, bien que l'existence de ces maxima ou minima ne se trouve pas ainsi rigoureusement démontrée.

représentée par une courbe telle que C^C,, une forme infiniment

peu différente de y sera figurée ^'i par une courbe telle que C',C\, infiniment peu différente de la première, et la convention que nous venons de faire revient à considérer comme correspondants sur ces deux courbes deux points, m et in\ de même abscisse.

Dans ces conditions, la variation de Y sera, en désignant par

P,Q, R,S... les dérivées de la fonction connue Y, par rapport à

8V = P$i/ + Qhf + R8y^ + SBi/^ + ...

Nous allons transformer cette expression de manière à n y laisser figurer que la variation Sy, dont les variations 3/, î^^.. dépendent toutes.

Pour cela, nous remarquerons que les signes de variation et de

différentiation sont permutables entre eui. Ainsi, si i/^ et y, sont deux valeurs de y infiniment voisines sur une première courbe. T)j et Y),, les deux valeurs correspondant aux mêmes abscisses sur une courbe infiniment voisine, on a évidemment

dyi = Vt — Vu d^i = ^11 — ^i*

d'où

^{dy^\ = diii — dyt = (i),— y,) — (^ii — j/i) = By, — Ôi/, = d(ôf/j).

On peut donc écrire, en généralisant ce résultat :