dt/ d.iy

etc.

et par suite la variation de V deviendra

La variation de l'intégrale due à la variation de V sera donc :

Actuellement, nous appliquerons à chacun des termes de cette somme, à partir du second, la méthode d'intégration par parties; nous trouverons ainsi :

=[«^'];;-[^'»]:>rS'»-. '

L dx' Jx, l dx dx J«, J jc, dx* dx '

et ainsi de suite, en sorte que finalement l'expression de 8l sera:

81 = fvôxl'* + r'*av.dx = L J't »/'o

ou, en désignant pour simplifier par H la première parenthèse et par 6 la fonction soumise à l'intégration,

(2) 81 = 11 + f'Qhydx.

Telle est la formule fondamentale que nous nous sommes proposé d'établir.

Dans ces expressions, les quantités infinitésimales 3y, -^y

-7^... sont absolument arbitraires, puisque y n'est soumis dans

sa variation qu'à des conditions de continuité qui se trouvent toujours satisfaites dès que ces quantités sont infiniment petites.

STO. Reelierelie du maximum ou du minimum absolu d*une intégrale définie. ^ Le problème que Ton se propose généralement de résoudre dans le calcul des variations consiste à rechercher la forme de la fonction y qui rend maximum ou minimum la valeur de l'intégrale considérée. Ce maximum ou minimum sera conditionnel ou absolu, selon que la fonction y sera ou ne sera pas assujettie à une autre condition donnée.

Occupons-nous d'abord de ce dernier cas.

D'après la définition générale des maxima et minima ($ 78). pour qu'une valeur de I réponde à cette définition, il faudra que sa variation ne change pas de signe, quelle que soit celle de y; il faudra, en d'autres termes, que cette variation exprimée en fonction des infiniment .petits indépendants 8y,-r^... ait pour partie

Ot3D

principale (d'ordre infinitésimal le moins élevé) un terme d'ordre pair.

La première condition pour qu'il en soit ainsi, c'est que l'expression de 81, précédemment calculée en ne tenant compte que des infiniment petits du premier ordre, soit égale à zéro et qu'on ait par conséquent :

et cela, quelle que soit la manière dont y varie (*).

(*) Il resterait à vérifier ensuite, comme dans les questions du maximum el du minimum x>rdinaires, que la partie du deuxième ordre dans SI est différente de zéro, et le maximum se distinguerait du minimum suivant le signe de cette quantité.

Mais pour cela, il faut que les conditions

(3) e=sO,

soient séparément satisfaites. En effet H dépend uniquement des variations de y aux limites, tandis que la valeur de Tinté-

grale 1 Slydx résulte des variations de y dans tout le champ

d'intégration. Il y a donc indépendance entre les valeurs de ces deux quantités, et leur somme ne peut être nulle dans tous les cas possibles que si elles s'annulent individuellement. La condition

conduit à une équation différentielle en y et x qui est généralement de Tordre 2n si V renferme y et ses n premières dérivées. En effet, les dérivées partielles P, Q, R... sont alors au nombre de A + 1 et la dernière de ces fonctions 'figurant dans 0 par sa n*** dérivée renfermera en général la dérivée d'ordre 2n de y.

L'intégration de cette équation conduira donc à une liaison entre xety telle que

renfermant 2n constantes arbitraires.

Mais de son côté la condition

où figurent les variations aux limites

f Sy.- ùti. 1

qui sont entièrement arbitraires et au nombre de 2n + 2, se décompose en 2n+2 équations :

(*0 • ly'=V"

obtenues en égalant à zéro les coefficients des variations arbitraires. Si Ton y joint les conditions :

(gx ( *(«oi 2/o- Cf.. Cïn) = 0,

( *(^l, yi.Ci». Cin)=0,

exprimant que la courbe passe aux points limites, on obtient un système de 2n + 4 équations permettant de déterminer x^, y,, Jj, y, et les 2n constantes arbitraires.

Si la courbe ab qui représente la liaison

était assujettie à un certain nombre de conditions à ses extrémités, il en résulterait entre les coordonnées limites a?^,y^,irj, y, et les variations aux limites (a) un certain nombre de relations ; mais, comme un nombre égal d'équations (4') viendrait à disparaître, le nombre total des équations de condition ne serait pas modifié.

Ainsi, par exemple, si l'extrémité a était assujettie à se trouver sur une courbe

au lieu des deux premières équations (4'), il ne resterait plus que la relation unique