V.SXa

puisque Zx^ et iy^ ne seraient plus indépendants l'un de l'autre, mais l'équation de la courbe fournirait par contre la relation :

Si l'extrémité {x^ yj était donnée, les deux premières équations (4') disparaîtraient, puisque les termes correspondants de

H s'annuleraient par le fait de &r^ = 8î/^ = 0, quels que soient les coefficients de ces variations. Mais les deux inconnues x^ y^ seraient alors déterminées.

380. Application À un esLempIe. — Proposons-nous comme exemple très simple la recherche de la courbe la plus courte entre deux points donnés a(a7^, yj, b{T^ i/,).

Dans ce cas

VrnvTTF^dx.

On a donc

et Téquation différentielle 6 = 0 se réduit à

y" = 0, d'où

y = cx + c\

Les conditions initiales, déterminant les constantes c et c\ sont d'ailleurs :

la courbe cherchée est donc la droite qui joint les deux points donnés (*).

3S1. Maximum et minimum conditionnels. --

Supposons actuellement que la fonction y, tout en restant indéterminée, soit assujettie à certaines conditions, consistant généralement à rendre égale à une valeur donnée une certaine intégrale telle que

(6) I,= Pud.x U = ?(x,y,y',y''...)

de forme analogue à la proposée.

Toute fonction y satisfaisant à la question annulera séparé-

(*) li est presque superflu d^observer que, sous peine de tomber dans un cercle vicieux, on ne saurait déduire de ce résultat une démonstration de la propriété qui sert de^ définition même à la ligne droite.

ment la variation de I puisqu'elle rendra maximum ou minimum cette intégale, et celle de Ij puisqu'elle donnera à cette seconde intégrale une valeur constante.

Elle annulera donc la variation de

I + XI, = f' (V + XU) dx,

quel que soit le facteur constant mais arbitraire X.

Si donc nous calculons par la méthode précédente la fonction y satisfaisant à la condition