I+XI

et si nous déterminons le paramètre X qui figurera dans son expression de manière à donner à l'intégrale I, la valeur qui lui est assignée, nous obtiendrons ainsi la fonction demandée.

38S. Applleatioii à quelques esLemples. — 1"* Proposons-nous de trouver parmi les courbes planes isopérimètres^ c'est-à-dire ayant même longueur l entre deux points a(ar„ y,) et b{x^, y,) celle qui par sa révolution autour de Taxe OX engendre l'aire la plus petite possible.

Le minimum conditionnel à chercher est celui de l'intégrale

avec la condition

yd«= / y\/i + y^dx,

Il = r** d8 = P* v/l + y'* dx = l'

On aura donc à déterminer, d'après la règle précédente, le minimum absolu de Tintégrale

/"" (y + X)d8- f" (y + X) )/ÏTp dx.

I^'équation 0 = 0 se réduit dans ce cas à :

c'est-à-dire, à cause de

Si Ton remplace y + 'k par Y (ce qui revient à abaisser d*une quantité 00' égale à X Taxe des x), en désignant d'après la notation usuelle par tg 6 le coefficient angulaire de la courbe cherchée rapportée à ces nouveaux axes, Téquation précédente s'écrira :

ou en simplifiant

cos 8 (ix ^ ' cot 6 d\

^=tgeao,

et en intégrant

\h) YcosO = c.

L'intégration complète n'est pas nécessaire pour reconnaître la nature de la courbe.

L'équation {b) exprime, en effet, que la perpendiculaire pq abaissée du pied de l'ordonnée sur la tangente à la courbe a une longueur constante ; c'est la propriété caractéristique de la chaînette.

Mais pour déterminer complètement la courbe, nous effectuerons l'intégration de l'équation (b) ; remplaçons à cet effet cos 0 par sa valeur, nous aurons :

Au lieu d'intégrer directement cette équation, il est plus commode de la différentier d'abord, ce qui donne

YY' = c*Y'Y^

équation linéaire à coefficients constants dont on obtient immédiatement l'intégrale générale

Y = Ke * + K'e ^

qu'on peut

mettre sous la forme

en posant

ce qui revient à substituer aux constantes K et K' deux nouvelles constantes a et a •

Mais cette intégrale est plus générale que celle qui convient à réquation (&') ; elle renferme en effet trois constantes arbitraires et résulte de Téquation (c) obtenue par dérivation de réquation [b"). Il faut donc établir entrée,» et a la condition nécessaire pour que la solution satisfasse à (6'). On trouve

et la valeur de Y ou de y -f X devient ainsi :

Les trois constantes a, c et X se calculeront par les conditions initiales :

auxquelles on devra adjoindre la relation obtenue en calculant

d'après Téquation (e) Tare ab de la courbe et en l'égalant à la longueur donnée L Mais dans le cas actuel ce calcul se sim* plifie par la connaissance des propriétés de la chaînette.

On sait en effet que lare de chaînette compté à partir du sommet a pour expression

c'est-ài-dire

ctgO,

cY\

cy'

puisque Y et y ne différant que par une constante ont même dérivée.

On n'aura donc qu'à poser

et le système des équations {f) et {g) fournira c, a et X.

2* Parmi les courbes isopérimètres de longueur l tracées entre deux points a{x^ j/J et b{x^ î/J dans le plan y XOY, trouver celle pour laquelle l'aire ax^œ^b est la plus grande possible.

Dans ce cas on a à chercher le maximum de l'intégrale

= /*'* ydx

•/Xq

avec la condition

On est donc ramené à la recherche du maximum absolu de

Les valeurs de P et de Q sont :

VÎ + F* et l'équation 0 = 0 devient :

dX ^4 4. y'S

Elle s'intègre immédiatement et donne

en désignant par a une constante arbitraire. Résolvant par rapport à î/', on trouve

c'est-à-dire

(x — a) dx

d'où, par une nouvelle intégration,

Ainsi la courbe cherchée est un arc de cercle ; quant aux constantes a, g et X, elles se détermineront en écrivant que le cercle passe par les points a et 6 et que la longueur de Tare ab est égale à L

Ces exemples simples suffiront pour faire comprendre la marche à suivre dans chaque cas particulier.

3S3. Cas où llntésrale f Vdx porte sur plusieurs

fonetlons Indéterminées de sl. — Supposons qu'outre la fonction inconnue y et ses dérivées, V renferme encore dans son expression une seconde fonction inconnue z ainsi que les dérivées z', z" ... de cette fonction.

En raisonnant comme on Ta fait au S 3^8, on reconnaîtra que la présence de z aura pour effet de changer Téquation

H+ r''H8ydx=:0

H 4- Hi + f' (B5y + ©, 8^)dx,

en désignant H i et par 6^ des expressions analogues à H et à 6, mais relatives à la fonction z. On se trouve donc amené, si les fonctions y et s sont indépendantes à ajouter aux conditions (3) et (4) du S 3T9, les conditions nouvelles :

(iO) B, = 0,

(il) Hj=0.

Si les fonctions y et s se trouvaient liées par une relation connue telle que

Téquation

(13) eôjz-f Hi8z = 0,

ne se décomposerait plus en

puisque les variations iy et 35 ne seraient plus indépendantes. On pourrait, dans ce cas, tirer de Téquation (12) z en fonction de y, et en portant cette valeur dans l'intégrale I, on se trouverait ramené au cas d'une fonction unique.

Mais on peut éviter l'élimination préalable de J5, en remarquant que d'après l'équation (12) {Ix étant supposé nul), les variations 8y et Iz doivent satisfaire à la relation

(14) F'„ôy + F',3z = 0.

Cette équation jointe à l'équation (13) permet d'éliminer les variations iy et ^z et donne en définitive

En éliminant % entre cette équation et Téquation F(,r, y, 5) = 0, on obtiendra Téquation différentielle entre y et x.

Le problème revient, on le voit, à la détermination d'une courbe satisfaisant à certaines conditions de maximum ou de minimum et tracée sur une surface donnée. Souvent Texamen de la relation (15) fait connaître immédiatement une propriété remarquable de la courbe cherchée.

Proposons-nous par exemple de déterminer la ligne géodesique (la plus courte possible), entre deux points d'une surface donnée F(iF, y, z) = 0.

L'intégrale qu'il faut rendre minimum sera dans ce cas

On a donc :

^'V* + y'*+ ^'^dx.

en sorte que :

^^ d> 'y' d.rdy\

dxy fljTJJTtjrpi dx \ de) '

^ d. z" __ d. (dz\

*"~ dx y/i 4. yi ^ 2'« "" "" d« \d«/

L'équation (15) devient donc

cL (dy\ d^ fdz\ (15') dxVd«/ dx\d8)

du d'' Multipliant haut et bas respectivement par -^^^ j- ©* faisant

la somme des numérateurs et des dénominateurs on a, après

ds suppression du facteur commun v- :

dy ^ f<^y\ rf^ I /^A "^^ ^ f^y\ ^^^^ f^^\

(15") 5; ^' y—s) d.'^'\ds) ^Ts"^' Vd7J + 55 ^' \di)

F\dy F.dz P^dy + F'.dz

CALCUL DES VARIATlOxNS

Mais à cause de

et de

on a

F; rii/ + F', dz = — F';r dx.

L'équation (15") peut donc s'écrire

et elle exprime que la normale principale de la courbe est normale à la surface (*) , conformément à un résultat que nous avons déjà obtenu dans la première partie du Cours [Calcul diff., S 21 S).

(*) En effet, si Ton mène par l'origine des coordonnées deux droites Om et Ont' égales à Tunité en grandeur et parallèles en direction à deux côtés consécutifs du polygone infinitésimal qui constitue une courbe quelconque, la droite mm' située dans un plan parallèle au plan osculateur de cette courbe et normale à la tangente om est parallèle à la normale principale ; or les points m et m' ayant pour coordonnées respectives

dx dy dz d«* d«* ds

s+^(i> 'i^^m- i+HS)'

les coefficients angulaires de la direction m m' sont bien proportionnels à

"Q "(rO Kë)-

1* Calcul direct des différences.

3S4. Définitions et formules fondamentales. ~

Supposons une suite de quantités

On appelle différences premières de ces quantités, les différences de deux quantités consécutives, telles que :

Ces différences premières forment une nouvelle suite de quantités dont les différences premières sont dites les difféi^enccs secondes des quantités premièrement considérées.

On les note par la caractéristique A* et elles s'obtiennent de la manière suivante :

A'uo = AAUo = (Aui — Auo) = (Uj — îu^ + «o), A'Ui = AAm, = (Auj — Au J = (u, — 2u, + Uj),

A«ti, = AAu, = (Au,^^ - Au^) = (u^^, - 2Uj,^, + u,).

On définira et on calculera de même les différences troisièmes qui sont les différences premières des différences secondes, et ainsi de suite.

Il est facile de reconnaître que les relations auxquelles on est conduit peuvent s'exprimer par la relation symbolique générale

qui donne par son développement :

en convenant de changer les exposants en indices.

CAIXUL DES DIFFÉRENCES 571

Ainsi

A«u, = (u« - 2u + 1) «, = ti,^, - 2u,^, + u, (•).

Réciproquement, on peut trouver une formule symbolique qui donne u,,^ en fonction de lu^., A^M^t, AV*... A**tifc. En effet, la relation

peut s'écrire symboliquement

de même

d*où en substituant

et par une généralisation de ce résultat

(2) «.+n = (* + ^)"«. = «A + T ^ti, + îî^î^ A«u, + ... -h A-u„

expression que Ton pourrait déduire directement des formules (1}, mais par une élimination assez laborieuse.

3SS. Dtirérenees des fonctions. — Une fonction

étant donnée, on peut calculer ses valeurs

yo Vi Vi ... Vnf correspondant aux (/i+ 1) valeurs équidistantes de x,

Xo Xo + /i, x^ + 2/i ... ATo + n/i,

prises à partir d'une valeur initiale x^ arbitrairement choisie.

(*) Supposons en effet, pour établir la généralité de la formule symbolique, qu'elle soit reconnue exacte pour Tordre n — 1 et qu'on ait par conséquent

On aura de même

et Ton pourra écrire symboliquement

Si Ton forme les différences successives de ces valeurs de y, ces différences dépendront évidemment, pour une fonction donnée, de l'intervalle h et de la valeur initiale x^ à partir de laquelle on les calculera f ). Leurs expressions s'obtiendront sans difficulté par la formule (1) du paragraphe précédent et seront de la forme

en rétablissant la lettre a? à la place x^ qui peut recevoir toutes les valeurs possibles.

Soit par exemple la fonction

on trouve par Tapplication de la formule (1')

mais on peut aussi opérer de proche en proche. Pour n = 1 , on a

Or, le facteur (e* — 1) n'étant pas modifié lorsqu'on change :i en x + h, on en conclut

A«e» = AAe* = Ae*(e* — 1) = (e*— 1) Ae» = (e*— l)«e*,

et Ton est conduit ainsi, pour la différence d'ordre n, à l'expression

équivalente à la précédente.

Considérons encore la fonction entière

y = F(x) = A^x' + AiX"-» + ... + Ap-^x + Ap.

(*) Dans le cas où rintervalle h deviendrait infiniment petit, les différences se transformeraient en différentielles ; c'est d'ailleurs par la considération des différences que nous sommes arrivés (^ il et Z4L) à la définition des différentielles.

La diflférence première de cette fonction sera

^y = F(x + /i) — F(x) = [Ao(x + h)f + Ai(x + h)P-' + •••] — [Ao3c' + A^x"-» + •••]

Ainsi la différence première ày est représentée dans ce cas par un polynôme en x analogue à la fonction proposée, mais dont le degré est d'une unité moindre.

En continuant, on trouverait pour les différences suivantes des polynômes dont les degrés s'abaisseraient de plus en plus, en sorte que la différence d'ordre p

se trouverait indépendante de la valeur initiale arbitrairement choisie, et que les différences d'ordre supérieur à p seraient toutes égales à zéro.

Exemple : soit on a en prenant x^ = i et h = iK

y^ = i y, = 4 y, = 9 î/,= «6 Vt = 26,

Ayo = 3 Ayi = 5 Ay, = 7 Ay, = 9,

A*yo = « A«yi = 2 A«y, = 2,

A»yo = 0 A»yi = 0, A*yo = 0,

etc.

3SG. Nouvelle démonstratton du développement de Taylor. — La formule (2) du S 3S4 appliquée aux différences d'une fonction permet inversement de retrouver les valeurs yi)!/s"-î/n de la fonction, connaissant la valeur initiale y^ et les différences successives ^y^, A'y^... A^y^ correspondant à cette valeur initiale. On a par cette formule

y» = yo + 7^yo + \^^ ^'yo + — — ^j^ A«yo+...

Posons actuellement H désignant ainsi l'accroissement total donné à x quand on

:>74 CODRS BR CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL

passe de x^ à x^ + nh, c'est-à-dire, ponr la fonction y, de y^ à j/.. Le développement précédent pourra s'écrire

... ,^ ^^ . H Ayp , H(H~M A'yp H(H- /i)(H-2ft) A»y .

Actuellement rien n'empêche, en laissant fixe H, de multiplier les intervalles égaux h dans lesquels H se trouve subdivisé : si Ton imagine que le nombre n de ces intervalles devienne infiniment grand, ce qui revient à supposer h infiniment petit et égal par conséquent à un accroissement différentiel dx^^^ les facteurs tels que (H — h),{R — 2A)... se simplifieront par la suppression des termes h, 2A... négligeables à côté de H; d'autre part, Aî/o, AVo ••• deviendront les différentielles dy^cPy^... de y^ répondant à l'hypothèse de x variable indépendante, et l'équation (3} dont le second membre formera un développement indéfini, reproduira le développement de Taylor :

Vn = F(x, + H) = F(Xo) -1- " F'(Xo) + ^ F"(Xo) + ...

dont elle fournira ainsi une démonstration nouvelle.

3ST. Bxpresstoii symbolique des différences d'une fonction. — La formule de Taylor à laquelle l'étude des différences vient de nous ramener, n'est en réalité que le développement en série de la différence première d'une fonction suivant les puissances croissantes de l'accroissement attribué à la variable. Elle peut s'écrire en rétablissant la lettre h à la place de H :

(4) AFM--^ + — -5^ + J-^-JJ^ + ...

0U bien encore sous forme symbolique

(5) AFM = (e*^'-l)F(x),

en convenant de considérer dans le développement de l'exponen tielle les puissances de la lettre d comme des indices de différentiation.

D'après cette remarque, la différence première d'une fonction

CALCUL DES DIFFÉRENCES 'Sio

s'obtiendra en multipliant symboliquement cette fonction par le

facteur {e éx — 1). Mais les différences d'ordre supérieur n'étant que les différences premières des différences précédentes, Tapplication de cette même règle conduira aux relations symboliques :

A»F(jc) = (6*^ — 1) AF(x) = (e*^'— «)«F(jc),

et finalement à l'expression générale

rf (6) A*F(x) = {e*'^'— l)*F(x),

dont nous nous allons vérifier l'exactitude au moyen d'une analyse différente.

». Partons de la formule (4) où nous remplacerons pour simplifier l'écriture ¥{x) par y

^ 1 dx ^ 1.2 dx« ^ 1.2.3 dx« ^

Ce développement applicable évidemment aux différences de la fonction y aussi bien qu'à cette fonction elle-même, donne par le changement de y en Ay, A'y...

^ 1 dx ^ 1.2 dx* ^ 1.2.3 dx» ^ ^"~1 dx "*'l.2 dx* ■*■ 1.2.3 dx» "*""

etc., formules, qui fournissent le développement de chaque différence en fonction de la différence précédente et permettent par des éliminations successives, d'obtenir finalement l'expression d'une différence d'ordre quelconque en fonction des dérivées de y. C'est ainsi qu'on trouvera par exemple :

" l dx*^ 1.8 dx* ^ 1.8.3 dJC* ^

"^ 1.2 dx»"*" 1.8.1.8 dx»'*' ■■ , h* d'y ^ 1.2.3 dx* ^

En continuant cette élimination on serait conduit pour Teipression de A"j/ à un développement de la forme

et la formule générale donnant la valeur des coefficients numériques Aç, Aj, A,... pourrait s'établir d'après la manière dont le développement a été obtenu. Mais il est plus simple d'arriver à cette détermination en appliquant l'équation (7), qui doit être générale, au cas particulier de la fonction

pour laquelle la valeur de A*y, directement établie plus haut, est égale à

En identifiant le développement de (e* — l)*e* par rapport aui puissances de h avec celui de l'équation (7) où l'on doit remplacer toutes les dérivées de y par e^, on trouve que les coefficients Aq, Ap A,... sont ceux même du développement de (e*— 1)".

La formule (7) pourra donc s'écrire symboliquement

conformément au résultat énoncé dans le paragraphe précédent n.

2® Calcul inverse des différences.

3SO. Étant donnée une relation où figurent les différences d'une fonction y, formées pour des valeurs généralement équidistantes de la variable x^ le calcul inverse des différences consiste à retrouver la liaison continue qui, établie entre y et a*, conduirait à la relation donnée.

(*] Toutes les démonstratioDS précédentes supposent, bien entendu, la convergence des développements considérés.

Le calcul inverse des différences est, on le voit, à leur calcul direct ce que le calcul intégral est au calcul différentiel. Seulement, le problème est beaucoup plus complexe et plus di£Scile à résoudre, comme on s*en rendra compte sur les quelques exemples simples que nous allons traiter.

Nous commencerons par établir les principes élémentaires suivants :

i^ La différence d'une somme est égale à la somme des différences des parties qui la composent.

Ainsi, si

:;, ti et t; étant des fonctions de x^ et si Ton attribue à x un même accroissement h dans toutes les fonctions, on a évidemment :

Ay = Az + Au + Ap,

Conséquence. ^^Deux fonctions qui ont même différence ne peuvent différer que par une fonction dont la différence est nulle, c'est-à-dire par une constante ou une fonction périodique de â?, admettant h comme période. En effet, si

Ay =. Az, on en conclut

A(y — z)=sO.

Cette fonction périodique, qui remplace dans le problème actuel la constante d'intégration, peut être une fonction telle

que * sinf 2i: -r) 1, par exemple.

2® La différence du produit d'une fonction par une constante est égale au produit de la constante par la différence de la fonction.

Ainsi, on a évidemment :

Aay = aAy.