Cela posé, proposons-nous la question la plus simple
qui puisse se présenter dans le calcul inverse des différencej?. Vintégration d'une relation de la forme
A.7 = nx, h).
qu'on supposera donnée dans Thypothèse de Ax=h. C'est le problème analogue de celui des quadratures. L'équation (1) exprime que la fonction cherchée y ou Ffj*) satisfait à cette condition que si, à partir d'une valeur arbitraire, attribuée à â?, on donne un accroissement h à cette lettre, l'accroissement in g ou Al/ pris par la fonction doit être , exprimé par f{x^ A), ou plus simplement par f{x), en supprimant la lettre h qui joue le rôle d'une constante.
On désigne par
la fonction cherchée, qui reçoit, comme dans le calcul infinitésimal, le nom àUntégrale.
L'intégrale F (a?) pouvant être augmentée, comme on l'a vu d'une fonction périodique arbitraire, et en particulier d'une constante arbitraire, il est clair que la courbe figurative de cette fonction
peut être tracée à partir d'un point initial [x^y^ arbitrairement choisi.
301 . Intégrales d'ordre supérieur. — La fonction F(x) ou ^f{x) peut être considérée à son tour comme la différence d'une fonction inconnue Y ou ^{x), qui se trouvera définie par la condition
ou
AY = F(x),
A«Y=.AF(x) = /'(x).
Ou désignera Qaturellement l'intégrale Y par
OU
OU enfin
En général, Tintégrale satisfaisant à une équation telle que
se représentera par la notation :
Y = £- f(xU
les signes S et A représentant deux opérations qui se détruisent, de telle sorte que :
On doit remarquer d'ailleurs qu*à l'intégrale ll^f{op) on peut toujours ajouter un polynôme arbitraire de degré m — 1 en x. puisque la différence m*^ de ce polynôme est nulle. Les m coefficients de ce polynôme représentent m constantes arbitraires, qui permettent de choisir arbitrairement la valeur initiale de l'intégrale, ainsi que celles de ses m — 1 , premières différences. En dehors de ce polynôme, l'intégrale peut être encore augmentée d'une fonction périodique arbitraire, et plus généralement encore de toute fonction dont la différence m'*^* est nulle.
30S2. IntésPAtton immédiate ou par substitution.
— "Si Ton reconnaît dans la fonction f{x) la différence d'une fonction connue Y{x)j on obtiendra la solution la plus générale do l'équation
en posant
K désignant une fonction périodique- arbitraire admettant /^ comme période.
En effet, toute autre fonction F^{w) satisfaisant à la question, devra avoir même différence que F (or), et ne pourra différer, par conséquent, de ¥{x) que par une fonction périodique arbitraire (S 380); elle rentrera donc dans l'expression générale F(ir)+ K.
Par exemple, on" a vu que la différence de la fonction exponentielle, y = c* était :
on en conclut, (e* — 1) étant un facteur constant :
e* — 1 Donc
(3) Se* = ^^ + K.
De même si Ton forme les différences des fonctions trigono* métriques sina? et coso? :
A sinx =Bin(x+ h) — 8inx= ^^^<^ ô cosf x + ■s)'
Aco8x = cos(x + h)— cosx = — 2sîn j sinfx + -j»
on en déduit :
Ti f , ^\ sîn X , „
^ ^ 2 sm -
„ . / , /l\ COS X , ,.
Mais si Ton pose a? + ^ = Ç, on a :
Af = Ax = h,
en sorte qu'on peut adopter Ç comme nouvelle variable indépen- 4ante et considérer les différences comme prises par rapport à cette lettre. On aura donc :
SC08Ç = ' ^ /i + '^>
28in^
s sin Ç = ^ — j^ + K,
8 8ln-
relations dans lesquelles on peut rétablir la lettre x k la place de Ç, et qui fournissent les intégrales Scosj? et Ssin^?.
Si la fonction f{x) se décompose en une somme de termes que l'on sache intégrer séparément, l'intégrale de f[x) sera la somme des intégrales de ses parties.
Ainsi :
S (a cos X + b sin x) = a 2 cosx + 5S sîn x (5) { a»in(x-^)-6cos(x-|)
Souvent un changement de variable ramène la recherche d'une intégrale nouvelle à celle d'une intégrale déjà obtenue, mais il faut avoir soin de tenir compte des variations que ce changement de variable peut introduire dans la valeur de A, qui doit d'ailleurs rester constante.
Soit, par exemple, l'intégrale
£cos(p + qx).
Si Ton pose
p + gx = f ,
on voit que les accroissements de Ç seront liés à ceux de x par
A S = q Ax.
Ainsi, lorsque x reçoit des accroissements successifs égaux à hy Ç reçoit des accroissements qui ont pour valeur constante qh=h\ On pourra donc considérer cos (jt? + ga?) comme une fonction cosÇ de la variable Ç, et son intégrale, calculée pour un accroissement A', sera fournie dès lors par la formule^(4), Oii trouve ainsi :
Scosf
et en rétablissant à la place de \ et de h' leurs valeurs
8în(p + qx — ^ ) (P +<!«) = — ^^ n-=^+K
(S) S coB(p + qx) = i — '- + K,
on aurait de même :
oH2
SsinfpH- <ïjc)=—
cos ( p + gx
Ces dernières formules permettent d'intégrer, en général, toute expression formée d'une somme de termes tels que
Asin^xcos"*.
En effet, si Ton substitue à sin*r et cos^^r leurs développements en fonction des sinus et cosinus des multiples de x, tels qu'ils ont été donnés au S 114, on arrivera, en effectuant les opérations, à une somme de termes de la forme
Bsînpxcos</A*,
et
Ccosp'xcos<7'x,
qu'on pourra respectivement remplacer par
et
^8in(p + q)x+ -sin(p — q)x,
^ C08(p' + qOx + - COSfp'— îO*-
L'intégration de ces dernières expressions s'effectuera sans ditflculté par les formules (6) et (7).
