CUV
buées à X, y,z, et qui sera exprimable par une fonction de x, y, z que nous savons déterminer, car pour l'obtenir il suffit de traiter la liaison
comme une liaison à deux variables x et z, en y considérant y comme une constante. Cette fonction s'appelle la dérivée partielle de z par rapport à x.
Supposons actuellement que laissant x à son tour invariable nous donnions à y un accroissement différentiel dy, il en résultera pour z un nouvel accroissement différentiel que nous noterons dyZ, et la limite du rapport
dyZ
dy
sera égale à une fonction de x, y, z qui sera dite la dérivée partielle de z par rapport à y, et qu*on déterminera aussi aisément que la dérivée partielle précédente.
Si la liaison donnée peut se mettre sous la forme explicite en z
les deux dérivées partielles que nous venons de définir s'écriront
Quant aux dififérentielles de z que nous avons notées dj,z, d^z, et qui correspondent comme on Ta vu à deux hypothèses très différentes, on les nomme différentielles partielles^ et dans la pratique du calcul différentiel on a coutume de les écrire en supprimant les indices, mais en leur laissant un double facteur diflFé-
rentiel qui supplée à l'absence d'indices. Ainsi, on écrit — dœ au
lieu de djs, et -j-drj au lieu de dyZ (*).
Cette notation est défectueuse, on le voit, en ce que le même symbole dz a deux significations différentes, et Ton pourrait tomber dans de graves erreurs si, oubliant dans un calcul les observations précédentes, on supprimait les facteurs dx ou dy qui jouent le rôle de véritables indices.
Si a? et y varient simultanément d'une manière quelconque et prennent des accroissements différentiels dx, dy, z prend un accroissement différentiel qui s'appelle la différentielle totale de s, qu'on note communément par dz sans indice, et dont la notation rationnelle devrait être d^^^z (**).
lO. Tliéorèiiie. — La différentielle totale d'une fonction z de x et de ^ correspondant à deux accroissements simultanés dx, dy de ces variables est la somme des différentielles partielles correspondant respectivement à ces mêmes accroissements.
Ce théorème se traduit par l'équation
dz dz
dz = -T- dx + -;- dy.
dx dy
Nous en donnerons d'abord une démonstration géométrique.
(*) Celte notation revient à substituer à la différentielle partielle le produit égal de la dérivée partielle par Taccroissement correspondant de la variable.
(**) Dans ce cas^ il ne peut exister évidemment aucune fonction analogue à la dérivée.
CALCUL DIFFERENTIEL
Considérons la relation
comme représentant une surface et soit m[x, y, s) un point de cette surface.
Si, partant de ce point, on donne à x seul une variation différentielle dx en laissant y invariable , cela veut dire qu'on se déplace dans un plan parallèle au plan ZOX ; puisqu'on doit d'ailleurs rester y sur la surface, on
se transportera ainsi en un point n de la courbe mn, section de la surface par le plan mené par m parallèlement à ZOX, et Ton aura :
project. mn sur le plan XOY = jjlv = dx. La quantité dont on s'est élevé, soit
(nv — mfi)
dz sera donc la différentielle partielle de z, — dx.
De même, si l'on donne à y seul une variation différentielle dy en laissant x invariable, cela revient à se déplacer sur la surface dans un plan parallèle à ZOY. Soit mp le déplacement en question, pLw ou dy sa projection horizontale. La variation correspondante de
(p«-»mji)
sera la différentielle partielle -r- dy.
28 COURS DE CAIXUL DIFFERENTIEL ET INTÉGRAL
Enfin, si Ton donne simultanément à iP un accroissement jjlv ou dx, et à y un accroissement [xr ou rfy, on se transporte en projection horizontale au point p sommet du rectangle iivicp, et l'accroissement correspondant de z
(rp — mix)
est la différentielle totale de 5 correspondant aux accroissements différentiels simultanés dx et dij.
Si nous considérons actuellement le plan tangent en m à la surface et si nous désignons par /i^, Pj, i\ ses intersections avec les verticales des points n, p, r, les droites 7n;i,, m;;^, mi\ étant les tangentes respectives aux sections verticales mn, mp, mr de la surface, on a vu (-4) que les segments nn^, pp^^ rr^ étaient infiniment petits d'ordre supérieur, c'est-à-dire négligeables, à côté des infiniment petits jusqu'ici considérés.
En négligeant ces quantités et substituant les points n^, p^, 7\ aux points n, p, r, on peut écrire
dz = r j p — mji.
Mais, dans le parallélogramme 'ïïi7i^p^r^ (*), la somme des hau teurs de deux sommets opposés au-dessus du plan horizontal est égale à la somme des hauteurs des deux autres, c'est-à-dire que
r,p + mil = ritV + p,ic,
OU enfin
(*) Section d'un prisme à base rectangulaire par un plan.
, dz , , dz .
20. Démoiifltratioii algébrique du ménie théorème. — Démontrons actuellement le même théorème par l'analyse. Si
on a par définition
dz = r{x + dx, y + dy) — ^{.v, y),
ce que Ton peut écrire en ajoutant et retranchant la même quantité f{x + dx, y) au second membre
dz=[r(x + dx, y + dy)^r{x + dx,y)] + [f[x + dx, y) — r(x, y)].
La deuxième parenthèse du second membre est la différentielle -^ dx\ la première est ce que devient -7- dy lorsqu'on y
oLjc ^y
dz change x en x -\- dx. Or, la différentielle --j^ dy peut être consi-
dz dérée comme le produit de la dérivée partielle — par rfy, et cette
dérivée partielle est une certaine fonction de ir et de y telle que ç(t, y) par exemple. Si Ton change x erix-^- dx dans le produit (p(j?, y)dy^ le facteur dy ne varie pas, et le facteur <p(j7, y) subit une variation e qui est généralement infiniment petite (i i). Ce produit devient ainsi
?(*, y)dy-\'tdy,
et, en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre, il se réduit à
^{x,y)dy, c.-à-d. -^dy.
(*) Diaprés cette démonslration , le théorème d'analyse qui nous occupe correspond^ on le voit, à Texistence en géométrie du plan tangent à une surface.
Donc enfin
GÉNÉRALISATION. — Cette démonstration algébrique a l'avantage de s'étendre sans difficulté au cas d'une fonction de n variables
La différentielle totale dz d'une pareille fonction sera la sommo de ses différentielles partielles
. dz , , dz , , dz . , dz , , dz , dz= -r- dx 4- -7- dy + y du -^ -7- du + :z — dw... dx dy " du dv d\v
