Remarque «ur le théorème préeédent. — Le

théorème que nous venons de démontrer a une importance extrême ; il ramène immédiatement la différentiation d'une fonction explicite d'un nombre quelconque de variables indépendantes à celui déjà traité d'une fonction explicite d'une seule variable.

En effet, dans la relation que nous venons d'écrire, les termes du second membre peuvent être considérés indifféremment comme les différentielles partielles de z, ou comme les produits des dérivées partielles de z I-t^), \zr)i ^tc, ou

f xt /FI etc.,

par les différentielles partielles dx, dy, etc., correspondantes. Nous savons calculer ces dérivées partielles puisqu'elles s'obtiennent en faisant varier une seule lettre dans la fonction z qui se réduit alors à une fonction d'une seule variable. La formule

^^ = (s^) ^"^ ■*■ (57) ^^ "*■ (si) ^"^ + - =r.dx + r,dy + rudu -h...

fournit donc l'expression de la différentielle totale de z correspondant aux accroissements simultanés dx, dy, du de toutes les variables.

CALCUL DIFFERENTIEL 2i

Application à quelques exemples :

1* z = ai/sio2x,

cIz=:2aycos2x.dx + asin2x.dy;

2» z = asinSxy + 6i, — -f u*i/, dz= f2aycos2xî/-|--j dx + (2axcos2xi/+u«)dy + fsuy jdw.