Intégration par la sommation d*ane série

— Si pour une certaine valeur de œ que nouç supposerons égale

à zéro pour simplifier, on attribue à y une valeur initiale arbi-

traire y^ et si Ton fait croître x à partir de sa valeur initiale par des accroissements successifs égaux à h, en prenant pour valeurs successives de y :

Vi = Vo + fWf

y. == Vf + fW = y. + no) + f(h),

yt = y» + n^h) = y, + no) + r(/i) + rw,

yn=y.-\-m + nh),.. + fi('i'-i)h],

on obtiendra ainsi une suite de valeurs figurées sur le plan par la série des points y^, y,, y, •.•!/!• et la courbe figurative de l'intégrale ^f{x) ou F (a?), si on la trace à partir du point y^^ devra passer par les points y^, y^ .-• »/»•

D'ailleurs, si Ton traçait entre y^ et y^ un arc de courbe quelconque, comme celui qui est figuré en traits ponctués par exemple, en prenant pour point de départ un point arbitraire ('"ïo 5o) de cet arc, et en opérant à partir de ce point comme nous venons de le faire à partir du point {y^ 0), on obtiendrait une série de points tjj, tj,... et en attribuant à ij^ toutes les positions possibles sur Tare y^, r^^, y, on tracerait ainsi une sérié d'arcs ponctués dont la succession indéfiniment prolongée (*) formerait UTie ligne ininterrompue satisfaisant à l'équation aux différences proposées.

Seulement l'équation y = ^{x)j qui représente l'arc y^, T^^^ y, arbitrairement choisi, appliquée au delà du point (y, A), continuerait cet arc par une courbe généralement différente de la ligne ponctuée et cette équation par conséquent ne représenterait pas l'intégrale cherchée.

Dans certains cas, les considérations suivantes peuvent conduire à la solution.

Considérons la suite des valeurs

y© Vi y% • • Vn, les différences

(*) Les constructions peuvent s'effectuer également dans la direction des X négatifs en appliquant par soustraction Téquation aux différences.

qui leur correspondent forment une série dont f[[n — l)A]est le terme général. Si Ton désigne par S« la somme des n—\ premiers termes de cette série et si Ton parvient à déterminer l'expression de S^ en fonctions de n, on aura, en désignant par f (n) cette expression :

(8) yn = y» + S» = vo + ?(").

Considérons la courbe

W y = yo + ?(^)»

obtenue en remplaçant n par - dans Téquation précédente ; elle

fit

passe évidemment par tous les points t/^, y^, y, ...1/». car toutes

les fois que x devient égal à un multiple de A, l'équatioD 9

rentre dans la formule (8).

La fonction

V = Vo + *(j).

admet donc une différence

Af

qui doit devenir égale à f{x) pour toutes les valeurs de x égales à un multiple de A, Mais si cette différence Aç (t) est algébrique, et s'il en est de même de f{x), ces deux fonctions devront être identiques^ puisqu'elles prennent des valeurs égales pour

une infinité de valeurs de la variable ; donc ç ( r ) admet pour différence f{x) et Ton a

Soit, par exemple,

on aura dans ce cas :

Donc :

Sx-— jjP^+K.

Plus généralement considérons le cas où f{x) est une fonction entière de degré j9, et soit encore y l'intégrale.

L'expression de y^ est toujours fournie par le développement de la formule symbolique

dont le nombre de termes, égal à 7> + 1 , croit en général indéfiniment avec n ; mais ce nombre se réduit dans le cas actuel et le développement se trouve limité, parce que la différence d'ordre J9 + 2, A'^'y qui est égale à à^^ f{x) est nulle ainsi que toutes les différences suivantes. On a donc

c'est-à-dire

y.-yo+-i/'(Xo)+— f^-Ar(Xo) + ...+ ^,2.3,,,jp^4) APr(Xo).

La fonction que nous avons désignée précédemment par © (n) se réduit donc, dans ce cas, à un polynôme entier de degré (P+ 1) en n.

En y remplaçant n par - et faisant rentrer la constante initiale 1/j dans la fonction périodique arbitraire, on aura :

(y = Snx) = x^-^ + ^^^^^^

* ^ / x(x~/i)...(x-p/i) AV(Xo)

394. Intésratlon par le développement en série de 11nté|i;rale eherehée. — La valeur de la différence première d'une fonction y fournie par le développement de Taylor (S 387) :

^ idx^ i.2 dx« ^ 1.2.3 dx» ^

donne par intégration en différences finies des deux membres :

^"' ^ i^dx^ i,2 djc» ^ 1.2.3 dx»^

Cette formule établit une relation entre une fonction y et les intégrales aux différences de ses dérivées. Si Ton détermine la fonction y en posant :

Téquation (12) pourra s'écrire

/r(x)dx=.5sr(x) + iils^U-îî-s21-^ +

elle fournira la valeur de 2 f{x) en fonctions de^~-, --^f-- etc.. et de rintégrale / /'(^) da?,

(.3) s^(,)=|J^(.)dx-^-i:g^sg...

Appliquée à leur tour aux dérivées —-» T^'*" ^H© donnera de même :

^ dx /i ' ^ ' 1.2 dx« i.2.3 ^ di/»

dr 1 dr Ji^^.dV Î!iLv^

dx« ■"■ ^ dx 1.2 ^ dx« 1.2.3 ^ dx*

etc.

Ces développements, en permettant Télimination successive des intégrales aux différences 2 -i^ ? S j4 * ' ' doivent conduira finalement pour ^f[x)k un développement de la forme

(1*) 'Lf(x)=ljt{x)dx + B./-(*) + B,gh + B,gh«+ ...

I^ forme de ce développement une fois établie, il est facile cl'en déterminer les coefficients comme nous Tavons déjà fait au S 388 pour un développement analogue.

Nous appliquerons l'équation au cas particulier de la fonction /'•;dans ce cas, le premier membre devient égal, comme on Ta

vu, à-r — r ®t tous les termes du second membre étant divie^ — 1

sibles par ^, on a en définitive

Les coefficients B^, B,, B, ... sont donc ceux du développement de -j — T suivant les puissances croissantes de //.

39S* Ba:pres«ion «ymbolliiiie de nntéirrAl^ ^t extonslon de eette expreeslon au eiui d'une Inté* Srale d'ordre supérieur. — Le résultat auquel nous

venons de parvenir peut se mettre sous la forme symbolique

en convenant de remplacer dans le développement de la parenthèse les puissances de d par des indices de différentiation et

(rfi) ^(^)P*^ j f{or)dx.

Si Ton rapproche cette fonnule de celle du paragrahe 388 :

A»F(x) = (e *^— <rF(x), on peut remarquer qu'elle en est Textension au cas de n= — 1, à la condition de considérer les symboles A~* ®M 3~ ) comme

équivalents aux signes 2 et / » convention d'ailleurs assez naturelie, puisqu'elle conduit à écrire

ce qui revient à étendre à ce calcul symbolique la règle ordinaire du calcul des exposants.

Mais la formule (14') peut être encore généralisée et Ton a pour toute valeur de 71 :

En effet, au lieu de partir de la formule de Taylor

comme nous Tavons fait au paragraphe précédent, on peut prendre comme point de départ la formule

établie au S 388. En posant -j-^ =/*(ar), et, en intégrant n fois aux différences, on trouvera la relation :

désigne pour simplifier l'intégrale multiple d'ordre n ;

et par une analyse calquée sur celle du paragraphe précédent, on sera finalement conduit à une expression telle que

svw=^j rwdx- 4- ji^èîj r(x)dx--^ +^j /(x)d*-«+...

L'application au cas particulier de la fonction ^, pour laquelle on a évidemment

détermine ensuite les valeurs des coefficients G j, C,... etc., et montre qu'ils doivent être ceux du développement de (e* — 1)"*

e* 1 (•) En effet, puisque dans Se* = ^ » le facteur ^ est constant,

Tapplication réitérée de celte relation conduit bien à la formule que nooi donnons dans le texte.

suivant les puissances croissantes de h, La généralisation de la formule symbolique se trouve ainsi justifiée.

390. Bquatloiui d^ordre supérieur. — La formule que nous venons d^établir permet de former le développement de Tintégrale d'une équation d'ordre supérieur de la forme

Hais cette intégrale peut souvent s'obtenir sous forme finie par l'application réitérée des formules d'intégration déjà obtenues.

C^est ainsi que nous avons déjà trouvé

De même dans le cas où f{x) est une fonction entière, on trouverait encore sans difficulté l'intégrale de l'équation

A"y = r(x), par la formule

déjà employée pour l'équation du premier ordre.

On remplacerait dans le développement m par — et

^»y^^iH-iy^ etc., par f[o), àf{o)... etc., y^ et les différences d'ordre inférieur à n restant arbitraires.

SOT. Bc|uatlon8 de formes plus eomplexes : équa^ tlon« aux dlirérenee« mêlée*. — Nous nous bornerons à dire quelques mots des équations aux différences de forme plus complexe.

Une équation générale d'ordre n est une liaison telle que

•(46) , *(x,y,Ay,A«y...A-î/) = 0,

entre a? et y et les différences de y jusqu'à celle d'ordre n. Cette équation est linéaire si elle est composée linéairement

590 COURS DE CALCrr. DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

avec y et ses différences : elle est homogène^ lorsqu'elle ne renferme pas de terme indépendant de y et des différences de y.

Une pareille équation

(17) Xo A"y + Xi A"-»y + X, A-«i/ + ... + Xn-i Aï/ + X,y=0,

jouit de propriétés tout à fait analogues à celles de Téquation différentielle linéaire (S 320).

. Ainsi, si yj^ est une fonction de x satisfaisant à Téquation (17), le produit c^r^^ de cette fonction par une constante arbitraire y satisfait également: si r,^, r^^iî,... sont solutions, on obtient une solution plus générale en posant

<^o' ^i> ^«'•' ^tftï^^ ^^^ constantes arbitraires.

Dans le cas où les coefficients X^, X^... se réduisent à des constantes A,,, Aj... l'équation peut être résolue par une méthode semblable à celle que nous avons appliquée dans le calcul intégral. En effet, si Ton pose

on a généralement

et en substituant ces valeurs dans Téquation différentielle, on trouve après suppression du facteur commun e**

(18) Ao(c«*— 1)- + Ai(e«A-l)-* + ... + A^,(e«*-I) + A, = 0,

équation de condition qui est du degré n en e** et qui fournit par conséquent pour 6^ , et par suite pour a, n valeurs généralement distinctes.

Si Ton désigne par a^ a,... a^ ces valeurs, on aura une solution de Téquation proposée en posant

Y = c, e«»^ + Cj e«5' + ... -H CnC»»^,

Enfin, si Féquation linéaire n*est pas homogène et si l'on a par exemple :

XoA-// 4- X, A"-»y + ... -V^Xnî/^V,

CALCUL DES DIFFERENCES 59f

T désignant une fonction de t, on peut faire disparaître le second membre par un procédé analogue à celui que nous avons employé dans le calcul intégral ; mais nous nous bornerons à indiquer cette transformation en renvoyant pour son étude à des traités d'analyse moins élémentaires.

On appelle équatians aux différences mêlées des équations telles que

par exemple, dans lesquelles figurent à la fois des différences finies et des différentielles.