Coiuiéqaeiiees du théorème précédent

1" Conséquences relatives aux fonctions (Tune seule variable indépendante.

a. Règle des fonctions composées.

Soit

une fonction composée avec deux autres fonctions w et v de ar dont les dérivées sont connues ; on veut former au moyen de ces dérivées la dérivée de la fonction y.

Considérons pour cela une autre fonction y^ composée avec deux variables indépendantes u, et v^, comme y est composé avec ueiv. Alors

yi = /'(uj, u,),

et d'après le théorème précédent

dVx = f\du^ + f'vxd^v

Cette relation a été démontrée sans restriction aucune pour toutes les valeurs de u^ et v^, et pour tous les accroissements différentiels que Ton peut attribuer à u^ et v, à partir de leurs valeurs initiales.

Elle aura donc lieu également si nous attribuons à u^ et v, des valeurs qui les rendent égaux à w et à v et des accroissements du^ , dv^ qui soient précisément ceux que prennent ueiv lorsque x s'accroît de dx.

Mais alors y^ et dy^ deviennent égaux à j/ et dy, et Ton a, par conséquent,

d'où, en divisant par dx,

m":{MW.{t)

formule qui résoud la question proposée et s'étend sans aucune difficulté au cas d'un nombre quelconque de fonctions composantes.

Remarquons que cette règle renferme comme cas particuliers les règles de la somme, du produit, du quotient, etc.

Application à quelques exemples :

On peut poser

Alors

du ^ ^ 1

y = u sin 2u,

(i)=""«»(EV^»-»<i)

. . a /:; e' cos 2 Jl — X

= e'8m2vl — X ==== •

Posons

dï""*' dî"~*'

= x*4-x*Lx = x*(/.x + 1>

b. Règle des fonctions implicites.

Soit (t) F(r,y) = 0,

une liaison entre x et y que nous supposerons irrésoluble par rapport aux deux variables qu'elle renferme. On demande la liaison entre dx et dy, ou, ce qui revient au même, la dérivée de y considérée comme fonction de x.

Imaginons une fonction z définie par

la différentielle totale de cette fonction de deux variables indépendantes sera, d'après la règle donnée :

(3) dz = F'.dx + F'ydi/.

Supposons actuellement que nous donnions à j? et à y des valeurs et des accroissements tels que s, c'est-à-dire F(.r,t/), soit et reste constamment nul. La liaison (3), qui est absolument générale, ne cessera pas d'exister dans ce cas particulier. Mais alor.< on rentre dans les conditions de l'équation proposée

et comme rfs = 0, l'équation (3), qui se réduit à {4) F'.dx + F,dy = 0,

fournit la liaison cherchée.

On en déduit pour la valeur de la dérivée de y

Pî '^=di-"-F;'

formule connue sous le nom de règle de Sluze.

Il importe de remarquer toutefois que si l'on obtient ainsi la valeur de la dérivée, pour avoir cette dérivée elle-même, c'est-àdire la fonction de x égale à y\ il faudrait faire l'élimination de y «ntre les équations (1) et (5), opération qu'il sera en général impossible d'effectuer.

Application à un exemple^

on aura évidemment entre les différentielles simultanées de ces variables p liaisons telles que

/ Fx dx 4- F'y dy + F', dz + Y'u du... = 0, (h) \ *'xdx + ^\dy + <I»',dz + ^\du... = 0,

Il reste donc, par le fait des équations {a), n — p variables arbitraires, et, par le fait des équations {b), n — p différentielles que Ton peut faire tendre vers zéro arbitrairement (*).

Dans le cas où p = n — 1, il ne reste plus qu'une seule variable arbitraire : adoptons x pour cette variable.

On pourrait théoriquement tirer des équations données l'expression de chaque variable autre que x en fonction de x, et des équations ainsi obtenues :

^ . . !•«., ,. . du dz du , y

on déduirait les coefficients différentiels -3^, -i-,-]-, etc. , c est-

ax ax ax

à-dire les dérivées de ces différentes lettres par rapport à x.

Mais la théorie précédente permet d'éviter cette élimination qui

serait souvent impraticable, et elle fournit ces dérivées par le

système des (n — 1) équations (&), que l'on peut écrire

dx dx dx

^, du ,, dz , ,, du ,

On trouve, par la résolution toujours facile de ce système, les valeurs des In — 1) dérivées exprimées en fonction des n lettres x,y,z,u...

(*) Il ne faul pas oublier que les différentielles sont toujours par définition des quantités infiniment petites^ c*est-à-dire tendant vers zéro.

CALCUL DIFFERENTIEL 37