Applleation à quelques exemples. — Soient

deux relations simultanées à trois variables par lesquelles y et z se trouvent fonctions de x. 1/ élimination de z conduirait à une relation telle que

d'où Ton pourrait déduire la dérivée -~.

Mais les règles précédentes permettent d'éviter cette élimination : elles donnent le système de relations différentielles

j F'x dx + F'„ dy + F', dz = 0,

d'où, par l'élimination de dz,

dy F'.^'.^F',^':, dx" F;*'. — F',*'/

Seulement; il faut bien remarquer que la dérivée -~ ainsi calculée renferme les lettres z et y dans son expression.

Prenons comme autre exemple le système

^^' (*(x,y, z, ii) = 0,

composé d'un nombre de relations inférieur de plus d'une unité à celui des variables. En éliminant Tune des variables, u par exemple, on serait conduit à une relation entre x, y, z, et l'on pourrait calculer alors sans difficulté la dérivée partielle de z par rapport à y.

Proposons-nous de déterminer directement cette dérivée par tielle sans éliminer u.

38 COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET LNTÉGRAL

Pour cela, nous opérerons de la manière suivante :

Nous supposerons d'abord les quatre lettres ir, y, c, u variant

d'une façon quelconque sans autre liaison entre elles que les

équations {a).

Nous aurons alors entre leurs différentielles les conditions

( F'x dx + F', dy 4- F', dz + F'« du = 0, ^ ^ ( ^'^dx + ^'ydy + *',dz + ^\,du = 0.

Actuellement, nous pouvons faire dx= 0, et, en éliminant du entre les équations différentielles ainsi modifiées :

F',dy + F'.dz+ F'«du=0, *'f dy + <ï»'sdz + fp'udii = 0,

on aura l'expression de la dérivée cherchée, qui est dite dérivée partielle de s par rapport à y parce qu'on suppose la variable u éliminée, mais qui correspond en réalité à une variation simultanée de y, z et II, puisque le système donné (a) ne permet de rendre, invariable qu'une seule des lettres qu'il renferme. Application au cas de

,. u*-aV + sinï^=0,

2u -fx*+ y»— 2«=0.

On demande — , dérivée partielle de z par rapport à y, après

élimination de u.

On a

(b) lu u \u u J \ u* uj ' f xdx + ydy — zdz + du = 0.

D'où, par élimination de du après avoir fait dx = 0,

, 2i/(a«H-u)--^ +^^cosï^ dz ^ ^ u\ u J XI

dy "" /^ xy xy\ '

z(2..-^C08-jf)

Donnons encore un exemple de ce genre de calcul . Soit le système

renfermant quatre variables a?, y, z, a.

Il résulte des liaisons entre ces variables deux liaisons entre leurs différentielles

et il est impossible de supposer que y et a restent à la fois invariables, puisque cette hypothèse conduirait à rfj* = 0, dz = 0* c'est-à-dire à l'invariabilité de toutes les lettres.

Il n'existe donc pas, dans le sens absolu du mot, de différentielle partielle de z par rapport à x, c'est-à-dire de différentielle de z correspondant à l'hypothèse où .r varierait seul, puisque cette hypothèse est inadmissible.

Si, dans un pareil système, on parle de la différentielle partielle de z par rapport à x, c'est qu'on sous-entend alors l'élimination préalable de a. Cette élimination une fois effectuée, z deviendrait une fonction de x et dey seulement, liée à ces variables par une seule équation et donnant lieu à des différentielles et à des dérivées partielles.

Toutefois, pour calculer ces dérivées et ces différentielles partielles, l'élimination de a, qui pratiquement serait souvent impossible, n'est nullement nécessaire; il suffira d'éliminer da dans les équations (fi) où l'on fera dy = 0, et l'on trouvera ainsi