DIFFÉRENTIELLES ET DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR

24. I>éfliiitloii des dlfTérentlelles d'ordre supérieur et lliUsons entre ces dlfTérentlelles. — Considérons la liaison

renfermant un nombre quelconque ?i de variables.

Soit x^, j/p z^, t/j, v^... un système de valeurs satisfaisant à cette liaison, a^,, y,, z^^ tf,, v,. . . , un autre système y satisfaisant également et obtenu en donnant èiT^.y^,z^,^^^^^\... les accroissements

X, — Xj ou Ax,, j/2 — i/, ou Aï/,,

il est clair que parmi ces accroissements Aj*,, Ay^, Ar,... il y en a (n — 1) qui sont arbitraires, et que le ?i'*"*, \z^ par exemplç, se trouve déterminé par la liaison.

Passons actuellement à un troisième système i^^i/,, :?j,w,, v,... obtenu en donnant à son tour au système a*,, y,, 5„t^„ v,... les accroissements

X, — Xj ou Ax„

yt — î/t ou Ay,,

ces nouveaux accroissements sont, comme les précédents, liés entre eux par une relation qui déterminera le n'*~ Ajj, quand les {n — 1) autres auront été arbitrairement choisis. Si nous prenons les différences de ces différences, ainsi

Axg — Ax, que nous noterons AAx^ ou A%, Ay, — Ay, AAy, ou A*y,.

CALCUL DIFFERENTIEL 41

parmi ces nouvelles quantités (n — i) seront évidemment arbitraires , puisqu'elles résulteront de la différence de quantités arbitraires; la n**"' à*z^ sera déterminée.

Passons maintenant des accroissements finis aux accroissements infiniment petits et remplaçons les lettres A par les lettres d: dx^\ dy^y dz^... seront les différentielles déjà définies de Xjy,z.,.; à partir de la situation x^yy^yZ^.,.yd'^x^^d'^y^yd^z^ îseront dites leurs différentielles secondes.

Il est aisé de voir, d'après cette définition même, que les différentielles secondes c?Vj, rf*î/|, d':?^... sont des infiniment petits du deuxième ordre.

En effet, ce sont les accroissements différentiels des différentielles premières lorsqu'on passe du système initial x^,y^,z^... au système (x^ + dx^), {y^-i-dy^), {z^ + rf^,), et, d'après une remarque faite (12), ces accroissements doivent être du deuxième ordre puisque les différentielles premières sont du premier.

►. Les différentielles premières sont ainsi considérées comme des fonctions infiniment petites des valeurs initiales j*,, y^jZ^,,. Ces fonctions ne sont pas absolument déterminées d'ailleurs, et s'il n'y a qu'une liaison

entre les variables, nous avons vu qu'il existait entre les différentielles la liaison unique

(6) ¥'^dx H- ¥\dij -\- Y'^dz +...= 0.

Nous pouvons écrire cette liaison sous la forme simple

(6) SLdx = 0,

le signe S s'étendant à toutes les différentielles et la lettre L représentant pour chaque différentielle la fonction dérivée partielle de F correspondant à cette lettre.

Les différentielles secondes, qui sont les différentielles des différentielles premières, seront donc liées à leur tour par une relation qu'on obtiendra en différentiant totalement la relation (6).

Les fonctions L ayant pour différentielles totales des expressions de la forme

dL . . fiL . . dL , ,

-j- dx + -T- dy + -7- dz + ...

dx dy * dz

la différentiation des relations {b) conduira à une équation de la forme

(c) SLd*x H- SMdJcdy + SNdx« = 0

homogène et du deuxième ordre relativement aux infiniment petits qu'elle renferme.

S80. Des considérations tout analogues à celles qui viennent d'être développées au sujet des différentielles secondes conduisent à la définition des différentielles troisièmes, quatrièmes, et en général des différentielles d'ordre n.

Les différentielles troisièmes seront les différentielles des différentielles secondes, et à ce titre ce seront des infiniment petits du troisième ordre. Ainsi de suite.

Quant aux liaisons entre ces différentielles, elles s'obtiendront en différentiant totalement un nombre de fois suffisant la liaison primitive. Nous avons déjà obtenu de cette manière la suite des relations

(b) SLdx = 0,

(c) SL d»x + SMdxdy + SNdx« = 0.

En différentiant à son tour cette dernière relation, on trouvera une équation de la forme

(d) SLd'x + SPdjcd»x + SQdxd*y + ERdxdy» + SSdx« = 0,

liant les différentielles troisièmes avec les variables x, y, s-., et les différentielles d'ordres inférieurs, etc.

Il est à remarquer que les équations ainsi obtenues, homogènes par rapport à l'ordre des termes infiniment petits qu'elles

renferment, sont linéaires par rapport aux diflférentielles de Tordre le plus élevé qui y entrent toujours par une expression de la forme

SLd-x ou F',d-.r + F\ d*y + F', d*2 + . ..

itTt. €jHm où il eJLÏmte entre les variables plusieurs relations simultanées* — S*il existait entre les variables x, y, z un nombre p de relations simultanées, de chacune des p relations de forme (a), on déduirait p relations de forme (ft), p relations de forme (c), etc., auxquelles les différentielles seraient obligées de satisfaire. Le nombre p doit être évidemment toujours inférieur à n.

2S. Variables indépendantes. — Si Ton a p relations entre n variables, n — /? de ces variables pourront recevoir telles valeurs et telles variations qu'on voudra. En général, on profite alors de cette faculté pour attribuer à ces variables une série d'accroissements infiniment petits égaux. Ainsi la variable x^ par exemple, recevant les accroissements

devient

X + djc, X H- 2djc, X + 3dx...

et, par suite, les différentielles d'ordre supérieur au premier, telles que d'iF, d}x^ d^x... sont toutes nulles. C'est ce qu'on exprime ordinairement en disant que x est variable indépendante et que dx est constant. Le mot constant, dans le cas actuel, ne signifie pas bien entendu que dx quantité infiniment petite, c'està-dire variable et tendant vers zéro, est une constante, mais bien que cet accroissement variable est toujours le même quand on passe d'une valeur initiale de x k une autre.

En résumé, les variables dites indépendantes sont des grandeurs que l'on fait croître par échelons infiniment petits égaux.

29. Applieation à un exemple. — Soient les deux relations à trois variables

j 2 H-xsiny = 0, ^^^ |3c« + y* — ^*=0.

On en déduit

( sin tjdx + X cos ydy -»- dz = 0, ^ ^ l jcdx + ydy — zdz = 0,

(sin yd^x + x cos j/d*y + d'z + 2 cos ydxdy — x sin j/di/* = 0, xd'x + yd^y — zd«z + dx» + dy* — dz» = 0,

Îsin î/d'x 4 x cos yd^y + d^z — x cos ydy* — 3 sin ydxdy* — 3x sin ydyd*y + 3 cos ydyd*x + 3 cos ydxd*y = 0, xd*x + ijd^y — zd^z + 3dxd*x + 3dï/d*i/ — 3dzd«z = 0,

On voit sur cet exemple que ces équations, bien que compliquées d'écriture, sont d'une formation très facile.

Si nous traitions maintenant Tune des lettres, z par exemple, en variable indépendante, les équations trouvées se simplifieraient par la suppression des termes en d^z, d^z, etc.