Déflnitloii des dérivées d'ordre supérieur
Soit d'abord le cas très simple de la fonction d'une seule variable f{x).
Posons
On a défini la fonction dérivée une certaine fonction de x égale au rapport des différentielles -^ résultant de la liaison (1).
On a désigné par i/ ou f'{x) cette fonction dérivée, et l'on a donné le moyen de la former dans tous les cas possibles.
Cette nouvelle fonction de x admet évidemment à son tour une fonction dérivée. On désignera par
y" ou r{x) cette dérivée, qui sera dite dérivée seconde de la fonction donnée,
et, en continuant de la même manière, on définira sans difficulté la suite des dérivées de f[x) (*). Si nous passons au cas d'une fonction
renfermant plusieurs lettres, nous pouvons toujours, en considérant comme des constantes toutes les lettres qui y entrent, à l'exception d'une seule, x par exemple, former la dérivée de F {x^ y, 5...) par rapport à cette lettre. C'est ce que nous avons déjà précédemment expliqué, et nous avons noté par
■* «» Fy, F»...
les diverses fonctions dérivées que l'on peut obtenir de cette manière.
Mais ces dérivées sont elles-mêmes des fonctions de t, y, 5... dont on peut former les dérivées par rapport à chacune des lettres qu'elles renferment.
Si nous choisissons par exemple la dérivée F. et si nous la dérivons par rapport à la lettre x et par rapport à la lettre 1/, nous formerons deux nouvelles fonctions qu'on désignera naturellement par
F'V, F"., et qui seront dites les dérivées secondes de la fonction F.
(*) L'expression de la dérivée première, ainsi qu'on Ta déjà remarqué, pourrait se présenter sous la forme d'une fonction de x et de y; mais alors y serait toujours, théoriquement du moins, facile à éliminer, puisqu'il est lié à x par une relation connue, et l'on obtiendrait ainsi la fonction de x dont la dérivée serait la dérivée seconde, ou bien on pourrait encore dériver l'expression de la dérivée première par rapport aux deux lettres x et y qu'elle renferme, en lui appliquant la règle des fonctions composées et traitant y comme fonction de x. On trouverait ainsi la dérivée seconde exprimée enx et en y comme la dérivée première.
46 COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET LNTÉGRAL
Il semble d'après cela qu'une fonction de trois variables par exemple, telle que F {x, y, z), admettant trois dérivées partielles du premier ordre
F'., FV, F'.,
et chacune de ces dérivées donnant à son tour trois dérivées, on doive obtenir ainsi neuf dérivées secondes de la fonction proposée, à savoir
F"x", F"xy, F"jfa» F"yx» F"yï, F\,, F",x» F". y, F"s«»
et ainsi de suite.
Mais, en réalité, le nombre des fonctions distinctes auxquelles on est conduit par les dérivations successives d'une fonction donnée est moindre qu'il ne parait tout d'abord, car parmi ces dérivées plusieurs sont identiques entre elles, en vertu du théorème que nous allons démontrer.
31. Théorème. — Si l'on fait subir à une fonction de plusieurs variables deux dérivations successives par rapport à deux des variables qu'elle renferme, le résultat de ces deux dérivations est indépendant de l'ordre dans lequel on les effectue.
Soit, par exemple, la fonction
il s'agit de prouver que
Dans les deux dérivations, les lettres autres que x et y sont traitées comme des constantes ; faisons donc abstraction de ces lettres, et, posant
considérons cette relation comme une liaison à trois lettres, x, y et u, définissant une surface.
A partir d'un certain point M de la surface correspondant à des valeurs u, Xj y des coordonnées, donnons à X d'abord, puis à y ensuite , des accroissements infinitésimaux dx ou m m', dy ou m m/'.
Nous déterminerons ainsi sur le plan des xy un rectangle infinitésimal mm'wi'^m"', projec- Y, tion sur ce plan de la section curviligne MM'M'^M'" de la surface, et Ton a identiquement • en désignant par u, u', u"^ u" les hauteurs des points MM'M^'M''' :
(ir — u") — (u'— u) = (u*'— u') — (u"— u).
Or u — li est la variation dett, c'est-à-dire de F{x, y, z, v..\ lorsque x s'accroît de dx, y restant constant : c'est la différentielle partielle -r- dx de u par rapport k x ; d'autre part, u" — t*"
est la même différentielle correspondant à une valeur initiale qui diffère de la précédente en ce que x restant constant, y a été changé en y -|- dy.
Donc
du est la différentielle de -7- dx lorsque y varie de dy. Considérant
— dx comme le produit de la dérivée partielle — ou F^ par dxy
on voit que l'accroissement infinitésimal de ce produit lorsque y s'accroît de dy sera {dx ne variant pas) :
En sorte que
(u* u") - {u' — «) = (^ dy'\dx = r„ dy dx.
48 COURS DE CALCUL DIFFÉREiNTlEL ET INTÉGRAL
De même, on reconnaîtra sans difficulté que
(u'"— M') - (u"— u) = (^ dx\dy = ¥'\rdxdy. L'identité à laquelle avait conduit la figure revient donc à
F%di/dx = FVdxdî/,
xy — » yx»
OU
