Introduction des dérivées de la fonction

(F x, y, z...) dans les relations dlllérentielles résultant de l'équaiion F (x, y, z...) = 0. — Nous avons déjà vu (SS 28 et suivants) que si des variables étaient liées par Téquation

leurs différentielles premières satisfaisaient à la condition

(b) F'mdx + F'ydy + F'.dz... = 0.

(*) Il est à remarquer que cette démonstralion s'appliquerait également à des différences finies Ax, Ai/.

Il est facile de reconnaître que Téquation de forme (c) (c) £L d«x + ÏM djc d 1/ + SN dx«,

à laquelle satisfont les différentielles secondes, est composée avec les dérivées premières et secondes. Cette équation s*obtient en effet par la différentiation totale de Téquation {b), et elle s*écrit (en tenant compte du théorème démontré au S 31) :

\ F',d»x + F\d^y + F'.d'z +...+ 2F^,^dxdy + 2F%,dxd; +... ' ) + P'«.dx« + F'Vdy* +• .= 0.

On arrivera de même, par un calcul long mais sans difficulté, à exprimer en fonction des dérivées de F les coefficients des équations de forme (rf), (f), etc., auxquelles les différentielles d'ordre troisième, quatrième, etc., doivent satisfaire.

341. IVotatlon dlfTérentlelle fréquemment employée pour représenter leii déri véeii d^une fonction de plusieurs variables. — Considérons une fonction de plusieurs variables F (x, i/, 5...) et posons

en désignant par u une variable nouvelle. Supposons qu'on laisse invariables toutes les lettres de F sauf une seule, la lettre x, par exemple, qu'on fera croître comme variable indépendante, c'est-à-dire en luf donnant des accroissements différentiels égaux, on aura dans cette hypothèse

du=:FVdx, dhi = F'V dx», d^u = F*',, dx»,

d*où

du dx

et

comme

d'ailleurs

on esl

écrire

d»F "■ dx*

= F, on est naturellement conduit à

d'où une notation fréquemment usitée pour les dérivées successives d'une fonction F par rapport à Tune des lettres qu'elle renferme.

35. Kxtension de la notatlou précédente aux dérivées mixteci. — Par analogie, on emploie également pour les dérivées mixtes telles que F!^, F'^i,, une notation analogue. Ainsi, on représente souvent

dxdy^ d»F

F"x, par

F^»»x' par

dy^dx

Seulement, il est essentiel de remarquer que dans -^t-j-, par

exemple, d'F peut être considéré comme la différentielle seconde de u égalé à F lorsque x varie seul avec un dx constant, tandis

/i*F que dans ^ , d* F ne représente la différentielle seconde d'aucune variable dans aucune hypow thèse.

En effet, figurons pour plus de clarté la liaison

^ uz=zF{x,y)

par une surface, en faisant abstraction des lettres autres que w, œ ^Y P-À y-t et 1/ qu'elle renferme, et dési-

gnons par ti, v!^ u'\ etc., les hauteurs au-dessus du plan XOY

des diflférents points tels que wî, m\ m" que nous aurons à considérer.

Soient ?n, w', m* trois points con*espondant à un même y et à trois valeurs de x infiniment voisines, on a

rf*F représente donc la différence de deux accroissements différentiels consécutifs d'une même hauteur m;ji, qui devient 7?i'u' d'abord et m'y ensuite.

Passons au contraire des deux points m et m* aux deux points m, et m\ obtenus en augmentant de dy Vy des premiers, on a

d'F ^ (u\ — u,)--(u^-~u) dxd«/ dxdr/

et Ton voit que d*F ne représente plus ici deux accroissements consécutifs d'une même quantité, mais la différence des accroissements différentiels des deux hauteurs m, jx^ et m(ji, qui deviennent m\u'j et m'(x'. Ce n'est donc plus une différentielle seconde

3e. Formule symbolique relative au cas de [n 1)

variables indépendantes. — Supposons qu'il n'existe aucune liaison autre que l'équation

entre les variables 1*, ^r, y, :;.

On pourra traiter alors x, y, z en variables indépendantes, et les équations [h) (c), dont nous avons indiqué au § 33 la forme générale, se réduiront à

{b) du = F',dx-fF',dy + ...

(c) d*u = 2F%dxdj/ + 2F%,dy dz +...+ F'Vdx' + FVdy' +...

Cette seconde relation pourra se mettre sous la forme symbolique

d»u=(F'xrfx + F'vrfy +...)»,

en convenant de remplacer dans le développement les exposants de F par des indices do dérivation, et les produits tels que F, F\ par F'',,.

Il est facile de généraliser cette formule symbolique.

Supposons en effet qu'elle soit vraie pour d'^it, et qu'on ait par conséquent

ilnu = (l\dx + y'ydy + V\dz +...)".

Le développement fournira des termes de la forme

K étant une constante, et pour calculer d"+*a on aura à diiT<*rentier séparément et totalement tous ces termes.

Mais dr, dy, dz,,, étant constants dans cette différentiatioii. le terme ci-dessus donnera

Kd:cPdî/«dc'-...(F^+\^,^^ d.v + y^^l^-^i,r„du f FX^.r+i... dz + ...),

que Ton pourra écrire symboliquement

RF;;pJ,,,^,,/i.xMi/M^^..(F'xdx + Fydxj + ¥\dz + ...).

On voit donc que la différentiation de d^xt, revient à multiplier symboliquement chaque terme du second membre par

(F',dx + FVdi/ + F'.dz +...), c'est-à-dire qu'on a

d^+^u = d"it(F'xdA: + Y'ydy + Y\dz -f ...) = (F'xdx -h Tydy + ¥\dz +...)"+",

et la généralité de la formule symbolique est ainsi démontrée.

37. Dérivées di*ordre supérieur des fonctions ini|»iieltes. — Soit u une fonction implicite de .r, i/, z,.. liée à ces variables par

Si Ton savait résoudre cette équation par rapport à «, on en

tléduirait

et Ton demande, sans résoudre Téquation (1), de calculer les dérivées successives de la fonction F, ou du moins des expressions qui leur soient égales.

L'équation (1) par la r(^g\e des fonctions implicites donne

'•"dx"" *V

Les autres dérivées partielles F'^, F,, seraient fournies par des quotients analogues.

Il est à remarquer que les expressions de ces dérivées partielles sont ainsi obtenues en fonction de x, y, z.., et de i/, car les dérivées *',, *',... renferment cette dernière lettre. Mais l'équation

permet toujours, théoriquement du moins, d'éliminer u et de lui substituer sa valeur en j*, y, z...

Actuellement, pour obtenir les dérivées d'ordre supérieur, on dérivera les valeurs des dérivées premières. Par exemple, on obtiendra F"'^ en dérivant par rapport à y

Si l'on a éliminé u du second membre, comme on vient de l'expliquer, cette dérivation se fera en considérant toutes les lettres autres que y qui entrent dans ce second membre comme des constantes.

Si l'on a laissé subsister u dans l'expression de F,, on devra regarder le second membre comme une fonction composée avec y et w, qui est une fonction de y, et dont la dérivée par rapport à y sera donnée par la dérivée partielle ¥\ :

r 1^ — -7- — ri-*

Exemple, — Soit

*(u, X, y) = xu + sin — = 0;

if

on

demande F'^c» ;

on

- cos

u cos-

- cos

Dérivons actuellement la première de ces deux dérivées par rapport à y, nous aurons :

/ . i u\du i i u

[X + - cos — I -r U\ r cos

\ y y dy \ ?/' V

i-j sin-

( X + - cos - I

lu u w' . u'S . / . 1 i( . u . u\dn ( -; cos r sm - + 1 X + - cos — h -• sm - ) -r-

.__ \y* y y* y) \ ?/ ?/ • y* y) dy

X + - cos — I

et comme

, "z cos -

du p, , y* y

X 4- - cos -

CALCUL DIFFERENTIEL 55

en portant cette valeur dans F''.,, on trouve définitivement après simplification

l — T ces ; sin - ) H — r cos* -

( X + - COS — l

\ y yj

K On peut se proposer de déterminer la formule générale qui donne les dérivées secondes, troisièmes, etc., de F en fonction des dérivées secondes, troisièmes, etc., de*, comme nous l'avons déjà fait pour le premier ordre.

En dérivant par rapport à y les deux membres de l'équation

on trouve:

et à cause de

On obtiendrait de même les expressions des autres dérivées de F.