EXPRESSIONS ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

39. Kxpremiiions dlirérent telles. — On appelle expression différeyitielle une quantité composée algébriquement avec des quantités constantes ou variables de grandeurs finies et avec des différentielles.

Par exemple, la quantité

xd}y — î/d'x + 1/' dx' + xy dx dy + x* dj/'

dx + dy

est une expression différentielle.

Une première remarque à faire, c*est qu'une expression différentielle doit toujours satisfaire à la condition d'homogénéité qui résulte du principe fondamental sur les infiniment petits. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, tous les termes du numérateur sont du second ordre ; ceux du dénominateur sont du premier.

S'il en était autrement, on simplifierait l'expression par la suppression de certains termes, comme on Ta expliqué au S 6-

L'ordre d'une expression différentielle est celui de la différentielle d'ordre le plus élevé qu'elle renferme. Ainsi, l'expression précédente est du deuxième ordre parce qu'elle renferme les différentielles secondes d^x, d^y.

Au contraire, l'expression

!/• d.x' + 2 xy dx dy 4- x* dy*

serait dite du premier ordre, bien qu'en réalité ses termes soient du deuxième ordre de petitesse, parce qu'elle ne renferme que des différentielles premières.

4iO. Une expression différentielle n'a de signification que si les différentielles qui la composent sont définies, c'est-à-dire s'il existe entre les variables correspondantes un certain nombre de liaisons.

Supposons, par exemple, que ces variables soient au nombre de n liées entre elles par p relations telles que

les différentielles successives seront liées comme on l'a vu par p relations de forme [b]

{h\ SLdx = 0,

CALCUL DIFFERENTIEL 57

par p relations de forme (c)

(c) SL d^x H- 2M dx dy + SN dx* = 0,

etc.

Pour que Texpression différentielle donnée que nous supposerons d'ordre q fût déterminée, il faudrait pouvoir en calculer la valeur pour un système de valeurs données de j-, y, s..., c'est-àdire y remplacer les rapports de différentielles par leurs valeurs enip, y, 5. Or, les relations de forme (6) (c)... étant homogènes ainsi que l'expression proposée, on peut toujours diviser tous les termes par l'une des différentielles qui y entrent, dx par exemple, à une puissance convenable. Donc, en réalité, si l'on s'arrête dans ces relations à l'ordre q, on aura pq relations entre nq — 1 rapports de différentielles ; il en restera donc encore 717 — 1 — pq ou (n — p)q — 1 d'arbitraires, et pour achever de déterminer l'expression on devra supposer :

autres relations entre les variables et les différentielles.

Revenons, par exemple, à l'expression différentielle précédemment choisie :

Q xd*y — yd*x + y* dx* 4- xy dx dy + x* dy* " " dx + dy '

elle est du deuxième ordre à deux variables. Supposons ces variables liées par une relation telle que

On aura entre les différentielles

(b) F',cijc + F',dy = 0,

(c) F'. d*x + FV d*y + 2 F"x„ dx dy + F'V dx* + FV dy* = 0.

Dans ce cas. n = 2 7 = 2 jo = 1 .

Il reste donc [{n — p)q—l], c'est-à-dire une relation arbitraire à établir.

o8 COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL

On devra donc supposer pour que l'expression diflférentielle soit déterminée qu^elle a été établie dans une hypothèse spéciale, par exemple en imposant aux différentielles une relation supplémentaire telle que

où X représente une constante. En portant cette valeur de d*y

dans réquation(c), on obtiendra une valeur de -^ en fonction de

, du a-, y et ~.

Or, — est donné par Téquation {b) en fonction de x et de y.

On arrivera ainsi à des expressions de la forme

dy = flx,y)dXy d^x = 9 (x,y) dx\ d^y = Xç {x,y) dx\

et en portant ces valeurs dans l'expression différentielle, on la transformera en une quantité de la forme

Q = *(x,î/)dx,

qui ne renferme plus qu'un facteur différentiel, celui par lequel on a divisé toutes les équations (*).

Il est essentiel de remarquer que la valeur de Q ainsi obtenue serait différente si nous avions supposé une liaison autre que (a) entre les différentielles. '

41 i. Expressions difTérentlelles invariables. —

Il peut arriver que certaines expressions différentielles soient

(*) L'expression considérée esl infiniment petite du premier ordre ; elle pourrait être d'un ordre quelconque n et sa valeur serait mutipliée alors par dx"; n pourrait être égal à zéro, et, dans ce cas, on aurait une quantité finie. En général, si l'expression différeniielle considérée renferme un facteur infinitésimal tel que dx% elle se trouvera divisée par un infiniment petit du même ordre dans les calculs où elle figure, de manière à conduire définitivement à un résultat fini.

composées de telle manière qifelles se trouvent déterminées sans qu'on ait à établir pour cela le nombre de relations précédemment indiqué entre les variables et les différentielles.

Par exemple, les premiers membres des équations {b) (c) qu'on déduit de

sont des expressions différentielles qui sont nulles, par le fait même de ces équations, et par conséquent bien déterminées, quel que soit l'arbitraire qui reste encore dans la variation des lettres.

Autre exemple : dans le cas de la liaison à deux lettres y =/* (y,, les relations différentielles successives sont :

dy =r r (a) dx,

d^y =r f* (x) d*x + r {x) dx«,

d*y = rix) d»x + 3 r {x) dx d»x + f M dx\

etc.

On peut déduire do ces relations les valeurs des dérivées successives de flx) exprimées en fonctions des accroissements différentiels des deux lettres ; on trouve ainsi :

^ ^''^-' di5 '

^ , . dx« d*y — 3 dx d«x d*y + 3 dt/ (d«x)* — dx dit d'x r M = ^^^^ : ,

etc.

Les expressions différentielles

, dx d»// ^dijd^x

dx> d\!/ ~ 3 dx d«x d'.y 4 3 dy{d*x)^ — dxdy d»x ^ dx»

etc., et toutes celles que Ton pourrait former par leur combinai-

«0 œURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

son sont donc invariables, quelle que soit la manière dont x et y varient, et leur valeur pourra être exprimée en fonction de x et de y, bien qu'on n*ait pas entre les différentielles le nombre de relations théoriquement nécessaire (*).

4^2. Changement de variables indépendantes. —

En général, les liaisons qu'on suppose exister entre les différentielles pour compléter leur détermination dans la formation d'une expression donnée, consistent à supposer certaines lettres traitées en variables indépendantes, c'est-à-dire ayant leurs différentielles d'ordres supérieurs toutes égales à zéro.

Changer de variables indépendantes, c'est trouver alors une autre expression différentielle correspondant à d'autres hypothèses et ayant même valeur que la première pour tout système de valeurs attribuées aux variables, et compatibles, bien entendu, avec les équations données.

Ainsi, soit Q une expression différentielle déterminée renfermant X, y, 5, u et leurs différentielles et correspondant à Thypothèse de x et y variables indépendantes, c'est-à-dire à

dKx = d*x = d*x = . . . . =r 0, d*y = d'i/ = d^y = • • • • == 0,

on pourra se proposer de déterminer une autre expression différentielle qui soit égale à la précédente pour toutes valeurs de X, y, 5, u compatibles avec les équations données et qui corresponde à l'hypothèse de z et u variables indépendantes, c'està-dire à

d^z = d^z = d^z =....=. 0, d*u = dhi = d*a = • • • • = 0.

(*) Quand nous chercherons à déterminer les éléments géométriques qui caractérisent une courbe en i*un de ses points, son rayon de courbure par exemple, nous serons conduits à des expressions différentielles invariables, et il doit en être évidemment ainsi puisque la manière dont on fait varier les coordonnées ne saurait influer en rien sur la valeur de ces éléments géométriques.

CALCUL DIFFERENTIEL 51

Pris dans toute sa généralité/ le problème est susceptible, on le conçoit, d'une infinité de solutions.

En effet, les relations fondamentales de forme (a) {b) (c), jointes aux premières hypothèses, doivent permettre de déterminer l'expression différentielle, c'est-à-dire de substituer aux rapports de différentielles leurs valeurs en x, i/, z, u. Ensuite, si l'on fait de nouvelles hypothèses sur les différentielles, ces hypothèses, jointes aux équations fondamentales, permettront de réintroduire dans l'expression différentielle de nouvelles différentielles, mais on pourra faire plus ou moins complètement cette nouvelle transformation : le problème est donc indéterminé.

-43. Prenons par exemple l'expression

" dx d'ij

que nous retrouverons en géométrie et que nous supposerons déterminée dans l'hypothèse de x variable indépendante, avec la relation

On veut changer de variable indépendante et prendre y comme variable indépendante nouvelle.

On pourra opérer de la manière suivante : les équations fondamentales

(b) dy = f{x)dx,

(c) d»y = /* (x) d«x -f r{x) dx^

se réduisent dans l'hypothèse de dV = 0 à

;)«j/ = r' (x) c\ts

ou

Dx

on sorte que

[1 -f-rw^i

est la valeur de Texp^ession Q en quantités finies.

Actuellement, nous pouvons transporter dans les équations fondamentales la nouvelle hypothèse c?*y = 0, et, notant par la lettre S les différentielles correspondant à cette hypothèse, nous aurons

d'où

Sx»

Si nous portons dans la valeur finie de Q ces nouvelles valeurs {\ef'{œ) et f'{x) en fonction des différentielles, nous aurons la nouvelle expression

(8y» + Sx»)« """ 8i/5*x *

qui est bien une transformée de l'expression proposée correspondant au changement de variable indépendante. Mais on aurait pu trouver une forme différente de Q, en se bornant par exemple à remplacer f'{x) par sa valeur, ce qui aurait conduit à

" 8i/ Vx

:. On pourrait encore procéder d^une autre manière sans passer, en apparence du moins, par l'intermédiaire de l'expression finie de Q. On chercherait l'expression de Q indépendante de toute hypothèse, puis dans cette expression générale on introduirait l'hypothèse nouvelle. Pour cela, on se servirait des expressions différentielles invariables du premier, deuxième, troisième ordre. Ainsi, on a, dans le cas de l'exemple précédent :

-p invariable et égal par conséquent à ^^ ""^ • invariable et égal à. . . y^-

Portant les valeurs <lGr^ r-=^ dans la première expression de Q, on trouve

^ dxd*y — dyd*x

Cette valeur étant indépendante de toute hypothèse, on peut y faire actuellement d*î/=0, et l'on retombe ainsi dans l'une des expressions précédemment obtenues :

hy 3*x

•45. Chansemeiit de variables. — On a n variables Xji/jZ... liées par (n — 1) relations telles que :

et l'expression différentielle :

déterminée dans certaines hypothèses connues.

D'autres variables u,v,îi'... en nombre égal aux précédentes

leur sont liées par des relations que Ton peut mettre sous la forme :

On demande de trouver une expression différentielle égale à 0 et formée avec v,v,iv,., et leurs différentielles.

Tel est, sous sa forme la plus simple, le problème du changement de variables^ différent, on le voit, de celui du changement de variables indépendantes, mais généralement combiné avec lui.

Pour le résoudre, on commencera par donner à Q une forme 0, indépendante de toute hypothèse spéciale sur les différentielles, puis on différentiera totalement les équations (a), et Ton aura ainsi les dx^dy^dz,,, d^x^d^y^d'z.,. en fonction de UjV,\v... et de leurs différentielles. On n'aura plus ensuite qu'à porter ces valeurs dans Qj pour obtenir l'expression cherchée.

Telle est la marche générale à suivre : on s'en rendra bien compte sur l'exemple suivant.

-40. Reprenons l'expression différentielle

déjà considérée et calculée dans l'hypothèse de œ variable indépendante avec F (a?, y) = 0, et supposons qu'on veuille exprimer 0 en fonctions des nouvelles variables p et w liées aux précédentes par

\ X = pCOS cm, { y = p sm (!>•

On commencera par substituer à Q l'expression différentielle générale :

__ (dx« + dy«)«

Wj — T.

dxd}y — dyd^x

CALCUL DIFFERENTIEL 6S

indépendante de toute hypothèse sur la variation de j* et de y. Puis, des équations (a) diffère ntiées on déduira :

dx = — psîn(i>d(i> + coscodp,

dy = pcostodca + sincodp,

d"x = — 2stnci>db»dp — pcoS(i>dù)' — psincDd'cu + coscod'p, d-y = 2cosa>dctfdp ^ p sintodco* + pcoftcud'ui + sin uid'p,

et ces valeurs portées dans Q^ donneront après simplification

(p«dco« + dc«) t

\lt —

p'dd»'^ pdcad'p + 2dcodp' + pd*b>dp

Actuellement, rien n'empêche de faire de nouvelles hypothèses relatives aux nouvelles variables. Par exemple, si Ton suppose que 0) soit traité en variable indépendante et si Ton désigne par la lettre ^ les dififérentielles relatives à cette hypothèse, on aura

p'Dft#* — pDcod'p + ;2()(i>î)p'

Si| d'autre part, la liaison entre p et (o qui résulte de

est mise sous la forme

on sait que les quotients différentiels rj- r-~ sont égaux aux dérivées ç'(w), ç''(ci)) de la fonction <p. On pourra donc aisément exprimer 0, en quantités finies au moyen des nouvelles variables, et l'on aura

Q __ U'^yz) J [p* + yVto)»p

p.-pi!p +î/^V P* " P^"'"*' "^ ^''^''^* *

-4*7. Sans pouvoir traiter avec tous les développements qu'elles comporteraient les questions souvent très complexes du changement des variables et du changement des variables indépendantes, nous signalerons cependant Texistence de certains cas où les liaisons entre les nouvelles et les anciennes variables prennent une forme beaucoup moins simple que dans le paragraphe précédent.

Nous donnerons comme exemple la transformation suivante dont s'est servi Legendre :

Une fonction z étant liée kx et ky par une équation telle que

une expression différentielle du deuxième ordre est formée, dans l'hypothèse de x et y variables indépendantes. Désignons-la par

/o\ f^ ^f dz dz d}z d}z d}z\

On demande de calculer cette expression en fonction de trois variables nouvelles p, g et u liées à a?, j/ et z par les trois relations

dz P=dï'

f«x j dz

dz , dz

en adoptant p eiq comme nouvelles variables indépendantes. On a par différentiation de la valeur de u

du = pdx + qdy — dz + xdp + ydqi

mais

dz =pdx + qdy.

CALCUL DIFFKRENTIKL 6T

en sorte que la valeur de du se réduit à

du = xdp + ydq»

Les dérivées partielles de u par rapport hp et èiq sont par conséquent

du

dp

du dq

La valeur de r, résultant de la troisième des équations (3), peut alors s'écrire

Les équations (4) et (5) et les deux premières équations (3)

fournissent ainsi les valeurs de ^, y, s, -r^i -r^ en fonctions des

dx dy

nouvelles variables. Il reste à exprimer les dérivées secondes

djc^ dxdy dy*

Désignons, pour simplifier, ces trois dérivées par les lettres r,

s et ^ et les dérivées secondes -r-r» . , > -n par les lettres p, ' rfjj" dpdq dq* ^ '^'

î et X.

La diflférentiation totale des deux premières équations (3) donnera

mais les équations (4) donnent à leur tour

'"'=dFd5*'P+ d? dî = <rdp + Td<,.

Portant ces valeurs dans les équations (6), on obtient les relations

) d(/ = (*p + /a) dp + (sa + (x) dq,

qui doivent être identiques, quels que soient dp et dq^ et qui entraînent, par conséquent, les quatre égalités :

Ces quatre, équations se réduisent i\ trois, car les deux premières donnent par soustraction

rp = i-,

relation que l'on peut obtenir aussi par la multiplication des deux dernières.

Il reste donc en définitive trois équations fort simples, permettant d'exprimer r. .v et t en fonction de p, c et t, et d'achever ainsi la transformation proposée.

Il est h remarquer que la transformation inverse pour reveniî* des variables nouvelles aux variables primitives, s'opérerait par des formules tout à fait symétriques de celles dont on vient de se servir.

4^8. Équations dlfTérentielles. — On appelle équalion différentielle toute équation dans la composition de laquelle entrent des expressions différentielles.

L'ordre d'une équation différentielle est celui des différentielles d'ordre le plus élevé qu'elle renferme.

Ces différentielles peuvent être relatives à certaines hypothèses spéciales; certaines variables ont pu être choisies comme variables indépendantes, mais il est nécessaire alors de bien spécifier ces hypothèses pour que l'équation différentielle ait une signification déterminée.