FONCTION DTNE SEULE VARIABLE

4l9. Déllnitioii des maxima et minima. — Soit y=f{ip) une fonction de x que nous supposerons réelle, finie et continue ainsi que ses dérivées, du moins dans Tintervalle où nous nous proposons de l'étudier. Si l'on fait varier œ d'une manière continue, la continuité de la fonction exige que toute valeur de y soit comprise entre deux \aleurs infiniment voisines, Tune qui la précède, l'autre qui la suit.

Cela posé, on appelle valeur maxima ou minima de y toute valeur supérieure ou inférieure aux deux valeurs infiniment voisines qui la comprennent.

50. Si Ton figure par une courbe la fonction y, il est clair qu'aux valeurs maxima ou minima m'p' ^ '^^^"v" t ^^V ^^ V correspondent pour la courbe les points les plus bas ou les plus hauts, c'est-à-dire les points où la tangente est évidemment

parallèle à Taxe des x (*). Or, nous avons vu (S 1 1) que la pre-

mière dérivée de f{j'),f*{ir), représentait le coefficient angulaire •de la tangente. Donc, aux points considérés

Ainsi :

Toute valeur de x qui rend f(x) maximum ou minimum doU annuler la dérivée première f'(x).

Tel est le caractère auquel les maxima et minima se reconnaissent (**).

(*) Si Ton en veut une démonstration plus rigoureuse, on peut raisonner de la manière suivante :

Considérons le point maximum m'y par exemple; puisque par définition les deux points infiniment voisins in\ et vx\ qui Je précèdent et le suivent

tendent vers le point m' en sMIevant tous deux sur la courbe; si Ton prend une situation particulière de ces deux points et qu^on mène par le plus élevé m'i une droite horizontale, on est assuré que le point m\ en s'élevant vers m' franchira celte horizontale en un certain point m', ; la sécante horizontale m\ m\ qui joint deux points infiniment voisins de la courbe devient alors à sa limite la tangente horizontale dont nous voulions démontrer Texistence.

(**) La relation -r^ = ^' (x) montre qu'aux points maxima et minima la limite du rapport des différentielles étant nulle, la différentielle de la fonction

SI. Cherchons maintenant un caractère pour les distinguer.

En général, si la courbe va en 8*élevant, le coefficient angulaire de la tangente est positif; il est négatif dans le cas contraire.

Aux points maxima, la courbe cesse de s'élever pour s'abaisser ; donc fiœ) de positif devient négatif et passe par zéro : rinverse a heu aux points minima.

Représentons à son tour f\x) par une courbe

Cette courbe, d'après ce qui vient d'être dit, couperaj^l'axe des X aux points correspondant à m', m", m'"' et aflectera (une

forme analogue à celle qu'on a représentée en traits ponctués sur la figure.

Mais la dérivée seconde f^{x) joue, par rapport à la dérivée première f'{x), le rôle que f{œ) joue lui-même par rapport à la fonction donnée.

La courbe figurative de f''{j') (représentée en trait pointillé sur la figure) devra donc avoir, comme on Ta indiqué, une

est négligeable à côté de celle de la variable; en d'autres termes, l^accroissement infiniment petit de y est au moins du deuxième ordre par rapport à celui de x.

ordonnée négative pour le maximum m\ puisque f(x) décroit en ce point, et positive pour le minimum m'^, puisque /^(ip) y est croissscnt.

D'où cette conclusion :

Les maxima se distinguent des minima d'après le signe de la dérivée seconde f'^x), qui est négative pour les premiers et positive pou/f^ les seconds.

La discussion peut donc se résumer ainsi :

MsLXimum f[x) = 0 f'[x) < 0.

Minimum T W = 0 T W > 0. (*)

SS. Points d*lnflexioii. — Les maxima et les minima alternent évidemment sur la courbe, et entre deux de ces points consécutifs doit exister au moins un maximum ou minimum de la dérivée : cela est évident sur la figure (**). Soit jjl' un de ces derniers points ; il est facile de reconnaître qu'au point correspondant i' de la courbe, la rotation de la tan-gente change de sens.

Ainsi, si l'on se déplace d'une manière continue sur la courbe, de m' vers m" par exemple, depuis m' jusqu'en t' la direction de la tangente, qui est celle même du déplacement sur la courbe, tournera constamment dans le sens de la flèche /*, puisque la dérivée, c'est-à-dire le coefl5cient angulaire de la tangente, va en décroissant constamment ; à pai*tir du

(*) Dans le cas particulier où /"(x) serait nul en même temps que/" (x), un n^aurait à proprement parler ni maximum ni minimum, mais la courbe figurative présenterait un point d'inflexion à tangente horizontale. Nous reviendrons plus loin sur ce cas particulier en complétant la règle ci-dessus. Voir § 78.)

(**) En admettant, bien entendu, que les fonctions ^(x) et f (x] restent finies el continues dans l'intervalle, comme nous Pavons supposé.

CALCUL DIFFERENTIEL 73

point %\ la dérivée seconde étant devenue positive, le coefficient angulaire de la tangente ira au contraire en croissant et la direction de cette tangente touniera dans le sens inverse, celui de la flèche f.

Le point i est dit point, d'inflexion.

Une remarque géométrique importante, c'est que les points d'inflexion d'une courbe sont indépendants des axes coordonnés choisis, tandis que les maxima et minima dépendent du choix de ces axes.