FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES

ft3. Soit actuellement

une fonction de plusieurs variables indépendantes : la différentielle totale de z est dans ce cas :

dz =r F'xdx + Y\dy + F'.du.., •

En appliquant à une pareille fonction les définitions du maximum et du minimum précédemment établies et étendues à toutes les variations possibles de la fonction, on reconnaît qu'il ne peut y avoir maximum ou minimum que si Ton a séparément :

etc.

En effet, supposons que l'une de ces dérivées partielles, F'« par exemple, diffère de zéro. Alors, laissant dans Fte, t/, t^, v...) toutes les lettres invariables à l'exception de la lettre u^ on rentre dans le cas d'une fonction d'une seule variable et l'on voit que la fonction s croit ou décroit avec u d'une manière continue de part et d'autre de la valeur considérée, puisque

dz = F'„ duy et que

Donc cette valeur n'est ni maximum, ni minimum.

L*exainen des dérivées secondes pourrait servir à distinguer entre eux les maxima et minima ; mais cette distinction est beaucoup moins facile à faire que dans le cas d'une seule variable, et sans entrer ici dans cette étude fort complexe, nous nous bornerons à faire remarquer qu'il peut se présenter des cas mixtes participant à la fois de la nature du maximum et de celle du minimum.

Pour éclaircir ceci, prenons le cas particulier d'une fonction de deux variables

et représentons cette fonction par une surface. Soit m un point pour lequel

Si nous considérons dans la surface les deux sections ama\

6;n6' parallèles respectivement aux plans coordonnés ZOX,ZO Y, les conditions que nous venons d'écrire expriment que les tangentes mt^ ms à ces deux sec- — -y tions sont horizontales, donc le plan tangent tms à la surface est horizontal.

Si nous supposons maintenant

il en résultera que le point m sera un minimum pour la première section et un maximum pour l'autre.

En faisant tourner le plan de section autour de la normale mn, on obtiendrait évidemment par raison de continuité des sections présentant entre ama! et bmb' toutes les disposi-

tions intermédiaires. Le point m présente donc à la fois les caractères du maximum et du minimum.

Les points tels que m ont reçu le nom de cols à cause des applications topographiques de cette théorie.