FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES NON INDÉPENDANTES

SS. Soit la fonction

(1) z = F(x, y, it,r...)

avec la condition

entre les variables.

On pourrait, par Télimination d'une des variables, ramener la question au cas précédent. Mais on peut éviter cette élimination.

Prenons les liaisons différentielles du premier ordre qui résultent des équations (1) et (2)

dz=^¥':cdx + ¥\dy -f F'r^ir...

0 = ^'xdx + ff'ydy + 9'rcic...

Eliminant Tune des différentielles des seconds membres, dv par exemple, on a:

(3) ?', dz = (F'« ?', - F; ?',) dx + (F', 9'r - F'- ?\) dij...

Actuellement x^ y, u... peuvent varier arbitrairement, et la variation de v résultera de leurs variations; on retombe donc dans le cas déjà traité , et pour que dz soit maximum il faudra que les coefficients de dx, dy, du.., soient séparément nuls, c'est-à-dire que :

F'x tP'c — F'r ç'x = 0,

ou plus symétriquement :

Ces conditions, qui dans le cas général de n variables seront au nombre de {n — I), jointes à Téquation de condition (2), détermineront les n variables. L'équation (I) fournira ensuite la valeur correspondante de z.

Le cas où Ton aurait plusieurs conditions entre les variables se traiterait d'une manière analogue : au lieu d'une seule différentielle on en éliminerait deux, trois ou quatre... au moyen des relations différentielles déduites des conditions données.

Exemple. — On demande le maximum du produit de plusieurs facteurs dont la somme est constante.

Les équations proposées sont alors :

(i) z = xyuv,

L'application de la règle donne les conditions

d'où

et à cause de (2)

d'où enfin

50. Ca« des fonctions discontinues. — Il est essentiel de remarquer que les raisonnements que nous avons faits supposent la continuité des fonctions qu'on étudie.

Un exemple fera bien comprendre l'importance de cette condition.

Soit un cercle 0 et un point extérieur A ; joignons le point A

CAiXUL DIFFERENTIEL

h un point M du cercle et cherchons les maxiiua et ininhna do la fonction AM ou z.

Exprimons d abord z en fonction de OP ou x; r étant le

rayon du cercle et l la distance OA, l'expression analytique de s sera :

Géométriquement, il est évident que si a- croit, z décroit jusqu'à la valeur minimum AB ou (/ — r) qu'elle atteint pour x=r ; si X décroît au contraire et dévient négatif, s va en croissant et atteint le maximum AG ou (/ + r) pour a? = — r.

Cependant, si l'on applique la règle analytique, on trouve:

d£ dx

ce qui indique une impossibilité.

Ce résultat tient à ce que z considéré comme fonction algébrique de X n'a pas, à proprement parler, de valeurs maxima ni minima: x variant de — r à -fr, z décroit d'une manière continue; sa plus grande valeur correspond à a? = — r, sa plus petite à j7= + r, mais si x dépasse ces deux limites, la fonction n'existe plus; ces valeurs ne sont donc pas des mçixima ni

des minima dans le sens même de la définition qui en a ét^^ donnée (*).

Au contraire, si nous exprimons z en fonction de Tangle a que fait le rayon OM avec OX, la fonction est continue avec a, et son expression analytique

donne la condition de maximum ou minimiim

iz— =2risma =.0,

(jui est bien satisfaite pour

a = 0 et a = '.

Cet exemple suffira pour faire comprendre quelles restrictions doivent être apportées à Tapplication des règles précédentes.

5*7. Solution géométrique de quelques questions de maximum et de minimum. — Dans certains cas, le principe d'après lequel la variation d une fonction est négli-

{•) Si ToQ figure la foDCtion z de x par une courbe, oo obtient la parabole

2« = f«-f r«— 2iJC,

qui ne représente AM qu'entre les deux ordonnées aa', bb' correspon-

dant k x^^dtr; on voit bien que ces ordonnées ne répondent pas à des points où la courbe ait sa tangente horizontale : ce ne sont donc pas des points maximum ou minimum.

geable au voisinage des maxima et minima peut être appliqué directement aux éléments d*une figure géométrique sans passer par l'expression analytique des fonctions que Ton étudie.

Nous allons en donner quelques exemples :

1* Soit M un point à Tintérieur d un triangle donné ABC : on demande de déterminer la position du point M de manière à rendre minimum la somme MA + MB + MG.

Déplaçons le point M en ^ laissant MC constant : ce point décrira alors un cercle de rayon MC et de centre C, et si sa position était bien celle du minimum cherché, on devrait avoir dans son déplacement sur ce cercle

d(MA + MB) = 0,

ce qui exige (comme dans la description de Tellipse) que les deux rayons AM,BM soient également inclinés sur la normale à la courbe décrite par le point M, c'est-à-dire sur le rayon MC.

Le même raisonnement appliqué aux autres rayons MA et MB fera voir que chacun de ces rayons doit être bissectrice de l'angle formé par les deux autres : donc les trois angles en M

sont égaux, et égaux chacun à-^, ce qui détermine la position

cherchée du point M (*).

2" Soient deux courbes (A) et (C) ; une tangente MN roule sur la courbe (C) et détermine dans la courbe (A) le segment MBN. On

(*) La construction du point M au moyen de trois segments capables de 120* décrits sur les trois cAtés du triangle, se trouverait en défaut si elle donnait un point extérieur au triangle ABC. Dans ce ca.«, d'ailleurs, on peut facilement reconnaître que Tun des angles du triangle, Tangle G par exemple^ étant nécessairement supérieur à 120", c'est le sommet de cet angle qui fournit le minimum demandé. La distance CM devenant nulle dans ce cas^ le raisonnement ci-dessus ne s'applique naturellement plus.

demande de déterminer le caractère des positions de la tangente qui correspondent aux maxima et minima de Taire ombrée du segment.

Soit A cette aire.

La condition analytique du maximum ou minimum donne

dA = 0,

d'où, en considérant une position infiniment voisine M'N' de la sécante :

aire MOM' = aire NON'.

Du point d'intersection 0 de M'N' avec MN, décrivons deux arcs de cercle Mm, Nn; nous formons ainsi deux secteurs circulaires HOnij NO/i, qui ne diffèrent des secteurs MOM', NON' que par les aires MmM'.

K NhN'. Or, il est facile de reconnaître que si langle 0 de MN avec M'N' est infiniment petit du premier ordre, ces aires sont au moins du deuxième ordre de petitesse (*). En négligeant ces aires infiniment petites, la condition précédente revient à

secteur OMm = secteur ON/7,

(*) Par exemple, en traçant Tare de cercle N'n', on forme l^aire quadrangulaire NnNV, qui If est du deuxième ordre, puisqu'elle est égale à

e X (ÔN'— Ôû'') __ e TON — On'\ (ON 4- On')

et qui est plus grande que Taire triangulaire

NnN'.

d'où