NOTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LES SÉRIES

Déflnltioii. — On appelle série une suite indéfinie de quantités arithmétiques ou algébriques se déduisant les unes des autres suivant une loi déterminée.

Il est évidemment nécessaire que cette loi existe pour que la série soit définie, car le nombre des termes étant infini par défi-

nition il est impossible de les écrire tous, et la loi en question doit suppléer à cette écriture.

On appelle terme général d'une série un terme dont l'expression est donnée en fonction du rang de ce terme ; cette expression se déduit précisément de la loi de formation des termes que nous venons de définir. Il est à remarquer que cette expression sera toujours algébrique, même dans le cas des séries arithmétiques, puisqu'elle doit renfermer une lettre représentant le rang du terme qui reste indéterminé.

SO. Convergence et divergence des «éries* — Une

série est dite convergente, lorqu'en faisant la somme de ses termes daiis V ordre où ils sont écrits on obtient une quantité S^ tendant vers une limite finie S quand le rang n du terme où Ton s'arrête croît indéfiniment.

Expliquons d'une façon précise ce qu'on doit entendre par l'expression: tendre vers une limite. Une quantité variable S, de forme algébrique donnée en fonction de n, est dite tendre vers une limite S, lorsqu'à partir d'une certaine valeur de n quon peut déterminer la différence S — S^ est inférieure et reste constamment inférieure à une quantité a au^si petite que Von voudra.

Toutes les fois qu'une série n'est pas convergente, elle est dite divergente; mais elle peut être divergente de différentes manières : soit que la somme S^ croisse indéfiniment, ce qui est le cas le plus ordinaire, soit que cette somme oscille perpétuellement entre de certaines valeurs, comme cela a lieu pour la série

+ 1 — 1 + 1 — 1 -fl —1..., pour laquelle la somme S^ est alternativement 1 et 0.

GO. Exemple des séries les plus simples. — {^Progression arithmétique, — La progression arithmétique est une série dans laquelle chaque terme s'obtient en ajoutant au terme précédent une quantité constante appelée raison. Cette

série a été étudiée dans les cours élémentaires. Nous rappellerons seulement la formule de sa sommation

Sn = a + (a + r)+(a + 2r)+(a + 3r)+...(a + (n--l)r) = îia + (îîlllliir.

La progression arithmétique est évidemment divergente, la somme de ses termes croissant indéfiniment, comme l'indique du reste la valeur de cette somme.

Appliquée à la série des nombres naturels, la formule précédente donne pour la somme des n premiers nombres l'expression connue

2'' Progression géométrique. — La progression géométrique est une série dans laquelle chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un facteur constant appelé raison de la progression.

La somme des termes s'obtient, comme on sait, au moyen de l'artifice de calcul suivant. On a :

S„ =a + ar -f ar« +... + ar»-«, S»r= ar4-ar»4-... + ar'»-^ + ar\

Retranchant membre à membre, il vient :

S„(l— r) = rt— ar»;

d'où

« a ar*

Si Ton a r > 1, cette expression peut s'écrire, pour mettre le signe de 1 — r en évidence :

COURS DE CALCUL DfFFÉRENTlEL ET INTEGRAL

la série est évidemment divergente, puisque les puissances de r, quantité supérieure à Tunité, croissent indéfiniment.

Si r est compris entre 0 et i , le terme complémentaire — -z ■

dans Texpression de S,» tend vers zéro en restant constamment négatif, et la somme S^ tend en croissant vers la limite :

qui est dite la somme de la progression. En effet, on voit que, ^ conformément à la

*--- '■ définition qui a été

donnée plus haut pour la convergence, on peut toujours déterminer le rang n de manière ^ qu'à partir de ce rang la différence

ti n^i Ti^%

ar'

11/f-i lut /t^#

soit plus petite et reste plus petite qu'une quantité a aussi petite que Ton voudra.

Enfin, si r est négatif et plus petit que 1 en valeur absolue, la progression est encore convergente; mais il est facile de reconnaître qu'elle tend vers sa limite en oscillant de part et d'autre de cette limite, comme l'indique la figure ci-jointe.

Ol . Restes de convergence des séries* — Nous nous bornerons à rappeler ici les principales règles sur la convergence des séries.

Théorème général. — Dans une série convergente^ les tet^ies

CALCUL DIFFERENTIEL 85

tendent vers zéro, cest-à'dire qu'on peut prendre n assez grand pour que le terme u» et chacun des suivants soit moindre quune quantité a aussi petite quon voudra.

En effet, on peut prendre n assez grand pour que* S», S„^.,, S^j, etc., différent de S, somme de la série, d'une quantité

moindre que g. Donc

W» = Su — Su |<«.

Cette condition n'implique pas d'ailleurs la décroissance continue des termes.

La réciproque du théorème démontré n'est pas exacte. Ainsi, la série bien connue sous le nom de série harmoyxique

est divergente, bien que ses termes tendent vers zéro En effet, si l'on forme avec ses termes successifs les groupes suivants :

ces groupes, à partir du troisième, sont respectivement supérieurs à

S + s-^-S + S'^â' ^t, comme le nombre de ces groupes est illimité, la somme est

égale à un nombre aussi grand qu'on voudra de groupes plus

grands que x. Elle croît donc au delà de toute limite (*).

02. Séries à termes tous positUlu — Dans une série à termes tous positifs, la somme S„ des n premiers termes croît évidemment avec n d'une façon continue. Cette remarque conduit au théorème suivant :

Théorème I. — Si la somme des n premiers termes co)iserve une valeur /Inie quand n augmente indéfiniment, la série esl convergente.

En effet, dire que S* conserve une valeur finie, c'est dire que S„. quel que soit n, est moindre qu'une quantité déterminée A. On peut considérer dès lors comme évident que la somme S„, croissant constamment, s'arrêtera à une limite inférieure ou au plus égale à A. Cette limite sera la plus petite des grandeurs audessous de laquelle reste la quantité croissante S^.

03. Théorème II. — Étant données deuœ séries à termes positifs :

it, «2 Ws w»

Vi Vi C, Vn,

dont la première a été reconnue convergente, la seconde sera convergente également sises termes sont respectivement inféneurs ou égaux aux termes correspondants de la première.

('] La démonstration, classique en quelgue sorte, que nous venons de reproduire ici, laisse place à une objection. En effet, s'il est évident qu'on peut toujoura, à partir d'un certain rang, former dans la série un groupe de termes

dont la somme soit supérieure à ^, il n'est pas moins évident que le nombre

des termes nécessaires pour former ce groupe va en croissant indéfiniment; en sorte qu'il peut rester un doute et qu'on peut se demander si l'on n'arrivera pas à l'épuisement de la série. On trouvera dans la seconde partie du cours, aux applications du calcul des quadratures, une démonstration différente de la divergence de cette série.

CALCUL DIFFERENTIEL 87

Prenons, en effet, lew sommes des ?i premiers termes des deux séries. Soient S^, &\ ces sommes. On aura évidemment

Mais S,» tend vers sa limite S en croissant constamment, donc :

d'où a fortiori :

Donc S\, d'après le théorème précédent, a une limite égale ou inférieure h S.

Conséquence. — Pour reconnaître la convergence des séries à termes positifs, on les comparera aux séries déjà connues : la progression géométrique décroissante servira naturellement de premier terme de comparaison.

0-4. Théorème III. — Si, à partir (ï un certain rang, le rapport ■ *"^' reste constamment égal ou inférieur à un nombre donné K plus petit que 1, on peut affirmer que la série

est convergente.

En effet, on a par hypothèse :

Un '

d'où

tU+i^Ku„,

d'où

Ua+, ^ Kun+, ^ K*u„,

d'où

U„+5 -^ Kt«n+2 ^ K»Mh,

etc.

En sorte que les termes de la série à partir de u^ sont respectivement inférieurs, ou au plus égaux, à ceux de la série :

tu KUn K*Uh K'«» K*Uh...,

qui est une progression géométrique convergente; donc, etc.

La somme des termes de cette progression est . *p., et comme

elle est supérieure à celle des termes de la série donnée à partir du rangn, si Ton s'arrête pour la sommation de la série au terme

de rang n, l'erreur commise sera moindre que -t — ^.

1 — Iv

En général, le rapport -^tend vers une limite X, et Ton a trois

cas à considérer :

l^ Six < iy la série est convergente; en effet, dire que ^^tend

vers X, c'est dire qu'à partir d'un certain rang -^ diffère de sa

limite d'une quantité moindre qu'une quantité donnée a aussi petite qu'on voudra.

Prenons entre X et 1 un nombre K, et faisons a = K — X : ù

partir du rang correspondant à ce nombre a, -~^* sera toujours

inférieur à K et le théorème II sera applicable.

2** 5i X > 1 , la série est divergente; on le reconnaît par un raisonnement tout analogue en prouvant qu'à partir d'un certain

rang -^ est constamment supérieur à un nombre K supérieur

Alors, les termes de la série sont plus grands que ceux d'une progression géométrique croissante

donc leur somme croît au delà de toute limite.

^^ Si\ = i,ily a incertitude et la série peut être convergente ou divergente.

GALCUl. DIFFÉRENTIKL 89

Exemples :

la série harmonique où

Un n + i

dont on a reconnu la divergence, et la série

1^ 2^ 3^* ni-

Où

«» (n + iy

dont nous allons prouver la convergence pour les valeurs de [a supérieures à l'unité.

Groupons pour cela les termes successifs de la manière suivante à partir du second :

etc.

Les groupes ainsi formés ont des sommes respectivement inférieures à

ou ou

etc.

Et ron reconnaît ainsi que la somme de la série est amplifiée si l'on substitue à ces différents groupes les termes de la série :

m «■MMMMi^ ^^HH^^B ^^^^m^^ • • •

(lui est une progression géométrique de raison ^j^Ti convergente

si |JL > 1 .

Au cas où iJL = 1, la série devient divergente, car elle reproduit la série harmonique.

Elle est divergente a fortiori si [jl < 1 , puisque alors tous ses termes sont respectivement supérieurs à ceux de la série harmonique.