Théorème IV. — Si, à partir d\in certain rang, l'cr

pression ^Un reste constamment inférieure ou égale à "uns quantité K plus petite que 1, la série est convergente. En effet, on a alors

tin ^ K",

etc.,

et les termes de la série sont respectivement inférieurs ou au

plus égaux à ceux de la progression géométrique convergente

donc, etc.

Si l'expression yX tend vers une limite X', on a, comme pour le théorème précédent, trois cas à considérer :

1® Si X' < 1, la série est convergente. 2** Si X' > 1, la série est divergente, 3® Si X' = 1 , il y a incertitude.

Nous ne nous arrêterons pas au détail de ces démonstrations, qui peuvent être calquées sur les précédentes.

Remarquons seulement que les limites X et X' doivent être identiques.

UALCUL DIFFÉRENTIEL 91

En effet, considérons la série

U^X «,X* UjX^... UnX*,

obtenue en multipliant par les puissances de x les termes de la îîiérie donnée.

Dans cette nouvelle série, les deux expressions caractéris-

tiques analogues à -2±î et v^î/„ sont

(*t tendent par conséquent vers les limites

Xjc, Xx.

En appliquant le premier théorème, on reconnaît que la nouvelle série est :

convergente, si

AX < 1 ou * < 7»

divergente, si

ÀJC > 1 ou * > T'

L'application du second théorème montre, d'autre part, que la série doit être :

convergente, ei

X'x < \ ou X < V7

divergente, si

a'x > 1 ou X > Y/

Si donc X différait de X', on pourrait attribuer à x une valeur

comprise entre - et r-?, et pour cette valeur les deux théorèmes

conduiraient à des résultats contradictoires, ce qui est inadmissible.

Nous nous bornerons à la démonstration de ces règles de convergence, qui sont les plus connues et les plus importantes.

Leur application ayant permis de reconnaître la convergence de certaines séries, on a pu obtenir d'autres règles fort nombreuses, dont nous mentionnerons seulement Texistence, par la comparaison des nouvelles séries à' étudier avec ces séries reconnues convergentes, de même qu'on avait obtenu les premières règles par la comparaison de ces premières séries avec la progression géométrique.

GO. Séries A termes alTeetés de signes <iu^l<^onqaes.

— Théorème. — Si la série obtenue en prenant positivement tous les termes est convergente^ la série proposée Vest également.

En effet, soit, en s-arrêtant au n' terme, P» la somme des termes positifs, 0» la somme des termes affectés du signe — ; soit aussi S,» la somme des n premiers termes de la série positive, et S la limite de cette somme. On a :

S» = Ph -h Qn, d'où

P, < Sn < S,

Donc, les sommes P^, On qui croissent d une façon continue en restant toujours inférieures à une quantité finie S, tendent chacune vers une limite (68). Soient P et 0 ces limites respectives. La somme S^ des n premiers termes de la série proposée étant égale à

Pn - Qn,

on aura

limite Sn = P — Q.

Remarque, — La condition précédente est suffisante, mais non nécessaire.

Ainsi, la série 1 — ^ + ^ — 7... dont nous allons démontrer la

convergence donne cependant, par le changement des signes, la série harmonique divergente.

Conséquence du théorème précédent. — Une conséquence importante du théorème que nous venons de démontrer, c'est l'application aux séries quelconques des règles démontrées pour la convergence des séries à termes positifs. Ainsi, une série à termes affectés de signes quelconques sera convergente si les

expressions -^ et \u^ tendent vers une limite inférieure à

l'unité.

67. Séries A «isnes alternés. — Théorème. — Une série dont les termes ont des signes altenativement positifs et négatifs^ est convergente si ses termes tendent vers zéro en décroissant d'une façon continue.

En effet, soit

tlo — U, + ll| — ...+ tlln — tljn + t + Wfn+i — W|»+l

une pareille série. Il est facile de reconnaître que les sommes d'indice pair telles que

Stiif Ssn+s, elc, vont constamment en décroissant, car

quantité plus petite que zéro, puisque les termes décroissent d'une façon continue.

A.U contraire, les sommes impaires vont constamment en croissant, puisque

et que u^^ — i^^+a est toujours positif.

û*autre part, toute somme impaire est inférieure à une somme paire d'ordre quelconque. Ainsi :

car, sip > q :

Ssp+i — Sssp = — u^p+i c'esl-à-dîre Sip+i < S^ et :

Ssp < Sfg,

et, si p <q :

et :

Sig + 1 — Sjg = — Uiq + i c'est-à-dire St^ ^ i < S»^

Les sommes impaires qui vont constamment en croissant en restant toujours inférieures à Tune quelconque des sommes paires, tendent donc vers une limite d'après le théorème I (OS8).

Et, de même, les sommes paires qui vont constamment en décroissant en restant toujours supérieures à lune quelconque des sommes impaires, doivent tendre vers une limite. Mais ces deux limites ne peuvent pas être distinctes, car deux sommes consécutives paire et impaire diffèrent par l'un des termes de la série

et, les termes de la série tendant vers zéro, cette différence peut être rendue aussi petite que Ton voudra.

Cette limite commune est la somme de la série.

Application à la série

98. Remarque Importante sur Plnterverslon de Tordre des termes d'une «érle. — Il est important d*insister sur ce point: c'est que, comme nous Tavons dit dans la définition même de la convergence, la sommation des termes d'une série doit être faite dans Tordre où ces termes sont écrits.

Lejeune-Dirichlet a signalé le premier ce fait singulier que la somme d'une série pouvait varier lorsqu'on intervertissait l'ordre de ses termes, et qu'une série convergente pouvait même devenir divergente par une pareille interversion.

Nous reproduisons ici l'exemple même qu'il a donné :

Soit la série

dont nous venons précisément de démontrer la convergence. Si nous intervertissons l'ordre des termes de la façon suivante :

de manière à rejeter successivement de trois en trois rangs les termes négatifs en laissant les termes positifs dans leur ordre de succession primitif, la nouvelle série, tout en étant convergente, n'est plus égale à la première.

Groupons, en effet, quatre par quatre, les termes de la première série ; il est facile de reconnaître que le groupe de rang n sera

\^ 4n — 3 4n — 2 ^ 4n -- 1 inj

D'autre part, si l'on forme dans la série intervertie des groupes de trois termes, le n*^* groupe sera

\^^4n — 3^4n — 1 %nj

de sorte que si Ton désigne par S' la somme de la série intervertie et si l'on fait la différence S' — S en retranchant de chaque

groupe de la seconde série le groupe correspondant de la première, le terme général de la différence sera

ou

4n — 2 in

2\2n — 1 Sh/

donc

d'où

Pour rendre compréhensible ce résultat étrange et qui semble contradictoire au premier abord avec les principes les plus élémentaires de Talgèbre, imaginons une série composée de la manière suivante :

S = «I + e, + ttj + £, + 4g + Eg +...

et supposons, si Ton veut, que les termes (x^, a,, a, ... forment une série convergente de somme A, et les termes e^ e,, e, ... une autre série convergente également, de somme E.

Il est évident que si Ton fait la somme des termes de la série S dans l'ordre où ils sont écrits, on aura

Au contraire, si Ton rejette les termes Sj, e,, e, ... au fur et à mesure qu'on les rencontre derrière les termes a^, a,, a„ on trouvera

car les termes en a,, a, ... étant en nombre infini^ la somme tendra vers la limite A sans jamais Tatteindre, et sans que, par

conséquent, on retrouve jamais les termes en e qu'on aura rejetés.

G*est par des considérations de ce genre que le résultat précédent peut s*eipiiquer.

DU NOMBRE e

60« Appliquons les théories précédentes à Tétude de la série

1 ' 1.2 ■ i.2.3 ' • 1.2.3...TI

Cette série est convergente; en effet, ses termes, à partir du troisième, sont inférieurs à ceux de la progression géométrique convergente

r ai' 55' •••' 2='

dont la somme est 1 .

On désigne par e la somme de cette série; et d'après ce qui vient d être dit, ce nombre e, supérieur à 2, qui est la somme des deux premiers termes, est inférieur à la somme de la progression géométrique ajoutée à celle des deux premiers termes, c'està-dire à 3.

Le nombre e est incommensurable. En effet, soit ~ une frac-

tien quelconque ; si cette fraction était égale à e, on aurait

q^^'^i'^il "*■•'•■*" 1.2.3...q ■*■ *.2.3... (q + i) "*■-

Multiplions par 1.2.3... y les deux membres de cette égalité, nous aurons

i.2.3...(,- DP = 1.2.3..., (i + J + ^^ + ji.3 + ..^ ^^)

c'est-à-dire, en désignant par N et N' deux nombres e^itiers, N - v 4. r * 4- ^ , ! 1

Or, la parenthèse est inférieure à la progression géométrique

IqTî "^ (7+1? ■*" IqTT? ■*■"•]'

dont la somme est -> c'est-à-dire une fraction; donc l'égalité à

laquelle nous avons été conduits est impossible, et, par suite, l'hypothèse d'où nous sommes partis est inadmissible.

Le calcul du nombre e au moyen de la série conduit au chiffre suivant

•yO. Limite de ( 1 4 j pour m = 00. — Le nombre e

est la limite vers laquelle tend l'expression M ~\ 1 lorsque m

croît indéfiniment.

Nous en donnerons, d'après Gauchy, la démonstration suivante :

Pour faire tendre m vers l'infini, rien n'empêche de lui attribuer une série de valeurs entières ; le binôme ( 1 -| ) sera

alors développable, suivant la formule de Newton, et Ton obtiendra ainsi le développement fini

composé de m + 1 termes.

Désignons par S^ la somme de ce développement; cette somme a évidemment une limite. En effet, remarquons d'abord qu'elle est toujours inférieure à e, car ses termes sont en nombre fini et chacun d'eux est visiblement inférieur au terme correspondant de la série précédemment étudiée. D'ailleurs, à mesure que m augmente, chacun des termes qui composent S„ augmente et leur nombre augmente également, donc («2) S^ tend vers une limite.

Je dis que cette limite est le nombre e lui-même.

Effectuons en effet les produits indiqués aux numérateurs. Si nous simplifions le produit

\ rnj\ mj jn m ^ m*

en y supprimant le terme positif—;, nous le diminuons.

De même, le produit suivant sera diminué en remplaçant les deux premiers facteurs par

et il le sera encore en supprimant dans le résultat de la multiplication de ^1 — -— -j par ^1 — -j les termes en m' qui

seraient affectés du signe +. Ainsi

\ wi/ \ »i/\ ^**/ m m m

on verrait de même qu'en général

\ m/ \ m) \ mj m m m m

Donc

OU

^^*"*"î'*'Tr" "^^ 1.2.3 ■^•••■*" 1.2.3...n ■^-

Si Ton désigne en général par <?, la somme des termes de la série e arrêtée au terme de rang j) + 1 , l'inégalité précédente revient à

^m > Otn "~" TZT ^»»-2*

On a donc, en définitive :

et la somme S„, comprise entre c et une quantité tendant vers i^^ ne peut avoir que e pour limite.

Nous n'insisterons pas davantage sur la théorie du nombre e qui a déjà été étudié dans l'algèbre élémentaire.