SÉRIES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN

Vl* liemiiie.

Si une fonction do x (*) y = r(x)

reste finie et continue ainsi que sa dérivée entre deux racines x^ et x^ de Téquation f(x) — o, dans cet intervalle il existe toujours une racine au moins de la dérivée.

En effet, la fonction, partant de zéro pour y revenir, doit passer dans Tintervalle d une période de croissance à une période de décroissance, ou réciproquement. La dérivée change donc de signe, et comme elle est supposée ne pas devenir infinie, ce changement de signe ne peut s'effectuer que par zéro.

Si. pour avoir une imAge de ce qui se passe, on représente la

fonction par une courbe, les figures 1, 2, 3 donnent la représentation de différentes dispositions possibles correspondant, les

0 11 ne s'agit, bien entendu, que de variables et de fonctions réelles.

deux premières à une seule racine, la troisième à plusieurs racines de la dérivée.

La figure 4 indique, au contraire, la forme que pourrait affecter la courbe si la dérivée pouvait devenir infinie dans Tintervalle considéré.

Vit. Série de Taylor. — Proposons-nous actuellement de développer une fonction f{x) en série, c'est-à-dire de la remplacer par une somme indéfinie de termes algébriques en x^ qui lui soit égale pour toute valeur de x, au moins dans un intervalle déterminé; on verra dans la suite, par les applications même, l'utilité qu'il peut y avoir à remplacer une fonction donnée par " un pareil développement.

Remarquons d'abord qu'une fonction algébrique entière de degré u f{œ) est identique au développement fini

OÙ X et a sont d'ailleurs quelconques.

En effet, l'identité

nx) =/(a) + i^rta) + ^^^ m + ... + -^l^ m

se vérifie aisément en dérivant chaque membre n fois et faisant x=s-a dans chaque résultat successif.

Par analogie, on est naturellement conduit à poser, dans le cas d'une fonction quelconque ç (^r),

(1) ?(.x) = ?(a) + î^^?'(a) + ^^^-^ ?"(a) + ... + î^j;^ ?Na) + R,

en rectifiant la valeur du second membre par Taddition d'un terme correctif R, ou, si l'on préfère, en appelant R la différence entre 9 [x) et le développement.

Cherchons à donner à cette quantité R, qui est dite le reste de la 3érie, une foraie qui se prête commodément à son étude.

'93* Première forme du Temte. — Posons :

et considérons la quantité

dans laquelle z sera traité comme une variable, tandis que x sera constant ainsi que P, qui est fonction de ir et de a par les équations (I) et (2).

Cette quantité s'annule évidemment pour 5 = a?, et elle s*annule aussi pour 5 = a, à cause de l'équation (1). Alors, d'après le lemme précédent, la dérivée de cette expression prise par rapport à z doit s*annuler pour une valeur de z comprise entre a et 0?, que nous pouvons désigner par

6 étant un nombre fractionnaire.

Mais cette dérivée se réduit à

On aura donc

et par suite l'équation (I) s'écrira :

?(x) = 9(a) + ^^^ ?'(a) + ^^^* ?"(a) + ... + ^^' ?" (a) •^i.'r(nTV'^^'ta+0(x--a)].

On peut considérer [x — a) comme un accroissement A donné à a et écrire :

i04 COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

Si Ton suppose n croissant indéfiniment, le second membre devient une série; c'est la série de Taylor^ et Ton peut représenter <p(a + A) par cette série toutes les fois qu'elle est convergente et que le reste R tend vers zéro lorsque n augmente indéfi^ niment.

'9<4« Seconde forme du reste. — Une seconde forme du reste, due à Gauchy, s'obtient en posant :

En opérant comme précédemment, on trouve pour la dérivée de la fonction de z :

d'où, pour z = a + 6 (a? — a),