fn — Il

Cl + X)"

La série de Maclaurin appliquée à cette fonction devient :

JC* . .X* X*

L(i+x)=:x-- + 15-- ^ + - (-^)- (;rTTj<^ +^^)"^"^'

Le caractère -^ donne pour cette série :

wj

X=:lim.

La série est donc convergente si x est compris entre — 1 et + l exclusivement.

Elle est d'ailleurs divergente si 0? = — 1 (série harmonique), et

convergente si a:= + 1( série 1 — 9 + 0 — 7 • • •)•

(*) La foDclion Ux ne serait pas développable par la série de Maclaurin, car ses dérivées de la forme ± " , '- donneraient des coefficients

infinis dans cette série.

4iO COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

Etudions actuellement le reste.

Si X est positif inférieur ou même égal à 1, ce reste, qu'on peut écrire

tend vers zéro; car le premier facteur — tt tend vers zéro, et

étant une fraction, ses puissances croissantes tendent

aussi vers zéro.

Nous sommes donc assurés déjà que le développement représente la fonction entre zéro et -f* 1 inclusivement.

Si X est négatif, la première forme du reste ne peut plus

rien apprendre, car . . ' . peut être supérieur à l'unité en valeur absolue.

Nous aurons donc recours à la seconde forme, qui donne, dans le cas actuel, l'expression

i /x--OxY+* (4-0) \H- «a:;

Mettons le signe de x en évidence en le remplaçant par — œ'\ il vient en valeur absolue

1 /3C'— Ox^\

l—OVi—Ox'/

Or, si x' est inférieur à 1, il en est de même du rapport

'-. — --T- ; donc, etc.

Si a?' =1 ou x^= — 1, la série est divergente, comme nous

l'avons déjà remarqué , mais comme l,[i — I) = Z,(o) = — co, on

peut dire qu'elle représente encore la fonction, et Ton arrive

ainsi à cette conclusion que la série représente Z. (I+j?), de

— 1 à + 1 inclusivement.

CALCUL DIFFÉRENTIEL m

Remarque : La dérivation des deux membres de Téquation

conduit à

égalité que Ton aurait pu établir directement en divisant Tunité par l+x. Réciproquement, partant de cette seconde relation, et s appuyant sur ce que deux fonctions qui ont même dérivée ne peuvent différer que par une constante, on arriverait à

et la condition lA = o déterminerait la constante c, qui doit être nulle.

Mais cette marche, quoique rapide et utile à connaître, n*est pas celle que nous avons adoptée pour le développement de la fonction logarithmique, parce que la dérivation et Topération inverse appliquées aux suites indéfinies de termes, nécessitent toujours une justification de Inexactitude finale du résultat auquel elles conduisent, (Voir Calcul intégral.)

80* AppUeatton de la série préeédente* — €aleul des losArtthnies. — 1® Logarithmes népériens. — Remarquons d*abord qu'il n*est utile de calculer que les logarithmes des nombres premiers. En effet, si un nombre n se décompose en facteurs premiers oi,f^,y, on a par simple addition :

l.n = /.a + /.p + Ly. {*)

(*) Quant aux logarithmes des nombres fractionnaires, ils s^obtiennent naturellement par de simples différences. Ainsi :

Pour ie calcul des logarithmes des nombres premiers, le développement de l.{l + œ) semble d'abord peu applicable, puisqu'il n'est démontré que pour a? inférieur ou au plus égal à 1 en valeur absolue. Il semble donc ne pouvoir fournir que

On a recours, pour tourner la difficulté, à Tartifice suivant. Soit s un nombre premier quelconque, on pose :

d'où

Lz = Z.(l+x) — i.(i— x).

Or, la valeur de x tirée de la relation précédente est

et Ton voit qu'elle est toujours inférieui^e à l'unité; l. (1 + x) et /. (1 — x) seront donc toujours développables par la série, et Ton trouve (*)

série qui, outre l'avantage d'être applicable à toute valeurMe r, est encore plus rapidement convergente que la précédente. On rend le calcul encore plus rapide en posant

Lz= i.m + L — »

m étant un nombre dont le logarithme est supposé déjà connu.

(*] Faisons observer, cependant, que ce résultat est obtenu en intercaiaDt les termes de la seconde série entre ceux de la première, opération dont la légilimité devrait être justifiée, en toute rigueur. (Voir § 1:^3.)

C4LCUL DIFFERENTIEL 113

En effet, en substituant — à s, la valeur de x devient

et elle est inférieure à la précédente.

Soit, par exemple, à calculer lô logarithme de* 3, le premier système donnerait

tandis qu'en se servant du logarithme déjà connu de 2. on a

et la valeur de a? à laquelle on est conduit est r •

2"* Logarithmes à base quelconque. — Les logarithmes à base quelconque se déduisent des logarithmes népériens par une simple multiplication.

Ainsi, soit x' le logarithme de y dans le système à base a, x son logarithme népérien. On a

d'où et

La '

le facteur -t— s'appelle le module du système à base a.

8i. Interpolation losarltlinllqae. — Le développement de/. (1 + x) permet d'établir qne formule (exacte d'interpo-

m COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTEGRAL

lation logarithmique et de justifier par là même la formule approchée dont on se sert dans la pratique.

Ainsi, soit proposé, connaissant :

le logarithme de n égal à a,

celui de n + i égal à b,

de calculer celui de n + j-, d? étant un nombre fractionnaire. On a :

\n 2n" in* J

Passant aux logarithmes vulgaires et désignant par M leur mo

dule, soit 7-77:3 MU

on a :

log(a + .x)=logn + M(ï-i^ + 3^,-...).

On a de même :

log(n + l)=logn + M (i^, + -J- ...).

Désignons par A la différence tabulaire entre log(n + 1) et logn, l'équation précédente donne :

De même, désignons par e la quantité qu'on doit ajouter à logn pour former log(n + ^r) ; on a :

Donc

Al 1 \

* in ^ 3n» -

Si n est suffisamment grand, on voit qu'on pourra, sans grave

erreur, négliger les termes qui ont n en dénominateur, et prendre comme on le fait usuellement

c = Ajc.

L erreur commise, qu'il serait facile d'évaluer, est d'autant plus faible que n est plus grand, et la différence tabulaire elle-même, d'après l'expression donnée plus haut, décroît à mesure que n augmente.

82. Développement des fonctions trtsonométrlques directes et Inverses.

a. Développement de sinj* et cosj*. — On trouve, sans aucune difficulté, par l'application de la série de Maclaurin :

X ^* I ^' xf i sin ex

s»nx— - 1.2.3 "*" 1.2.3.4.6 •" 1.2.3... p ^cos Ox '

le terme complémentaire est formé avec un sinus ou un cosinus selon la valeur paire ou impaire de p.

La série est évidemment convergente quel que soit œ, car, en valeur absolue,

lim Hn±i = lim x« -L-== o,

Un în(2n-|-l;

et le reste tend toujours vers zéro puisqu'il s'obtient en multipliant par un sinus ou cosinus, c'est-à-dire par un facteur inférieur à l'unité, une quantité qui tend vers zéro, comme les termes de la série.

Donc, le développement s'applique à toute valeur de x.

Il en est de même du développement du cosinus que l'on trouve égal à

cosx- 1—^2+1.2.3.4 1.2.3.4.6.6 ■*■••'

b. Développement de arctga?. — Le développement de arc tga? peut s'obtenir directement, mais il peut se déduire aussi

de celui de sa dérivée 7—; — 5 •

En effet, en effectuant la division, on trouve

Le second membre est une progression géométrique convergente, si X est inférieur à 1 .

En supposant cette condition remplie, et en considérant chaque membre comme la dérivée d'une fonction de x, deux fonctions ayant même dérivée ne pouvant différer que par une constante, on aura :

arCtgX + C=X — j+y— y.,.,

car on vérifie aisément que le second nombre a pour dérivée le développement précédent. Comme d'ailleurs arc tang x doit s'annuler avec X si l'on prend le plus petit arc correspondant à une tangente donnée, la constante c devra être nulle.

L'exactitude de cette méthode rapide se trouve vérifiée par le calcul direct du développement de arc tga? au moyen de l'application de la série de Maclaurin.

On reconnaît de plus que la série est applicable jusqu'à j- = 1 inclusivement.

83. AppUcatlon de la série préeédente» Ckkleal du nombre ic, — Le développement de l'arc tga? appliqué au cas de 0?= 1, pourrait servir au calcul de ir; il donne, en effet,

C'est la série connue sous le nom de série de Leibnitz.

Mais cette série n'est pas assez rapidement convergente pour

fournir un calcul commode, iet l'on a recours à l'artifice suivant :

Soit a l'arc dont la tangente est ?•

CALCUL DIFFÉRENTIEL il7

On aura

lg2a =

2tga 5

de même

^ 4 — <jf'2a""H9'

par suite

4a— T = arc ter— - •*■ 4 "'^ *239

Donc

J = 4arclgl-arcrg^

Cette formule, due à Tastronome Méchain(*), donne, comme on voit, le nombre «. au moyen de deux séries d'une convergence extrêmement rapide.

84. Développement da Mnôme (1 -|> o^)"*. — Dans le cas où m est entier et positif, le binôme (1 + ^)"' se développe par la formule de Newton :

Mais, lorsque m est fractionnaire ou négatif, la formule de Newton n'est plus applicable, et Ton a recours au développement par la série de Maclaurin.

(*) Ou, selon d'autres auteurs, au mathématicien John Machin, beaucoup moins connu.

n8 COURS DE CArXUL nrFFÉRENTlEL ET INTÉGRAL

On a pour les dérivées successives de ( l + «^r •

9 (xjrsO+x)" • et 9 (0)=1,

o' (x) == m (1 H- x)«-« et 9' (0) = m ,

9''(x)=:m(m — i)(1 4-^)~"' et ^"(O) = m(m — 1).

9»»(x) = iH...(m — n4-<)(l + x)*-" cl 9*»(0) = m... (m — n 4-0- En sorte que la série de Maclaurin devient :

Déterminons d'abord la condition de convergence de la série, On a

Un n

d'où

La série est convergente si œ est inférieur à 1 en valeur absolue; divergente si x est plus grand que l'unité. Pour étudier le reste, nous distinguerons deux cas : Si X est positif et inférieur à 1 , ce reste, qu'on peut écrire

rni(m~1)... (m-n) ^,^,-1 / i \ L i.2.3... (n + 1) J \i 4-Oxy

»-«-fi

se compose du produit de deux facteurs dont le premier tend vers zéro, car c'est un terme de la série convergente (Oi), et dont le second tend également vers zéro, puisque c'est une puissance

indéfiniment croissante de la fraction -. — r-r —

' 1 + Oo?

Si X est négatif, le raisonnement n'est plus applicable,

car , . ^ devient supérieur à l'unité ; nous aurons recours alors

à la deuxième forme du reste, qui donne, dans le cas actuel, l'expression

CALCUL DIFFERENTIEr. 1(9

en posant x = — x' pour mettre en évidence le signe de j*, ce reste s'écrira en valeur absolue

Le premier facteur tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, car si Ton considère la série dont ce terme serait le terme général, dans cette série

w»+» ni — n

Un n

Le second facteur tend vers zéro, car c*est la puissance indéfi-

niment croissante de la fraction -. r— r-

1 — hx

Enfin, le dernier facteur, indépendant de ?i, conserve une valeur finie.

Donc, le reste tend vers zéro.

Ainsi, pour toutes les valeurs de x comprises entre — 1 et + 1 exclusivement, le développement de (1 +ir)"' se trouve justifié.

Nous n'examinerons pas le cas de a? == ±: 1 , qui offre peu d'intérêt.

». Le développement de (a + j)* se déduit sans difficulté (lu précédent.

Si X est plus petit que a, on a :

(a + jcr = a« fi +?")"=«- + ~ a"*-» x + !!!(^L=l^a*--«x« +...

Si 0", au contraire, est supérieur à a :

\ xj 1 l.z

80. En terminant cette étude des développements en séries, nous croyons utile de revenir et d'insister encore sur ce point

i20 COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

important, à savoir que : pow?* justifier un développement il »«* suffit pas de prouver que la série obtenue est convergente^ il faut encore démontrer que le reste tend vers zéro.

Il pourrait se faire, en effet, que la série, bien que convergente, eût une limite différente de la valeur de la fonction développée.

Prenons, par exemple, la fonction

ses dérivées successives sont :

etc.;

elles renfermeront en général le facteur e ^, et d'après une remarque faite (TO) elles devront toutes s'annuler pour a? = 0.

La série de Maclaurin, dans ce cas*particulier, se réduit donc à son reste, qui doit être par conséquent identique avec la fonction elle-même.

Par suite, les deux fonctions

r{x) et /^(x) + e"ji

fourniront la même série par le développement de Maclaurin. Si cette série est convergente et représente bien f{x)^ il faudra, dans le second cas, que le reste tende vers une limite représentant la différence des deux fonctions.