GÉNÉRALITÉS SUR LES INFINIMENT PETITS

1 . Premières déflnltioiui* •— Le calcul infinitésimal est le calcul des infiniment petits.

On appelle infiniment petit ou quantité infinitésimale une quantité variable qui tend vers zéro.

En général, dans une question donnée, les infiniment petits sont des fonctions d'une même variable, et ils tendent vers zéro quand cette variable s'approche d'une certaine valeur.

Ainsi

% = { — sina

est infiniment petit lorsque a tend vers ^.

2. DUrérento ordres d^iniliiiiiieiit petits. — Les différents infiniment petits qu'on peut rencontrer dans une même question et qui sont liés entre eux parce qu'ils dépendent d'une même variable, doivent être distingués suivant leur ordre.

Deux infiniment petits sont dits de même ordre lorsque leur

rapport tend vers une quantité finie. Ainsi, pour a tendant vers ^,

lésina et

COS'a

sont des infiniment petits du même ordre, puisque

,. { — sin« ,. 1 — sîna ,. i i

lim. z = lim. -, r-r- = lim. = . — ; : = - .

cos"« 1 — sm*a 1 + sina 2

S'il n'en est pas ainsi, le rapport pourra toujours être pris de manière à ce qu'il ait pour limite zéro, et alors l'infiniment petit numérateur est dit d'un ordre supérieur à l'infiniment petit dénominateur.

Ainsi 1 — sina est un infiniment petit d'ordre supérieur à cosa, car

1 — sina ,. i — sina ,. a /{ — sina

cosa v/(i — sma)(l + Sina) V 1 + sma

3. Inflnimeiit petit prineipal. — Dans une question donnée, on adopte généralement un infiniment petit spécial pour servir de terme de comparaison aux autres infiniment petits et déterminer leur ordre. Cet infiniment petit, qui reçoit le nom à'infiniment petit principal, est ordinairement choisi de manière à ce que tous les autres infiniment petits soient d'ordre égal ou supérieur au sien.

Alors, ces autres infiniment petits sont dits du 2* ordre s'ils sont du même ordre que le carré de l'infiniment petit principal, du 3** ordre s'ils sont du même ordre que son cube, du n^*"* ordre en général s'ils sont du même ordre que sa n^^ puissance.

On conçoit, d'après cette définition, qu'il puisse exister des

infiniment petits d'ordre fractionnaire. Ainsi cosa étant pris pour

infiniment petit principal, v(l — sina) serait infiniment petit d'ordre |.

4. Bxemples d^nflnimeiit petits. — La géométrie offre de nombreux exemples d'infiniment petits.

Ainsi, étant donné un angle 0 et un point fixe A, si par ce point on mène une sécante mobile AC, cette sécante détermine sur les côtés de l'angle des segments OB, OC, qui seront infiniment petits lorsque la sécante s'approchera de la position AO. Ces infiniment petits seront d'ail- ^ leurs de même ordre, car si l'on mène par un point a, pris sur l'un des côtés de l'angle, ay parallèle à AC, on a constamment