AU CAS DE PLUSIEURS VARIARLES

. Soit, par exemple,

f{xyy],

une fonction de deux variables.

CALCUL DIFFERENTIEL 121

Donnons à a? un accroissement A, et à t/ un accroissement A;. La fonction devient

et Ton peut, considérant y -f^' comme une constante, appliquer le développement de Taylor à cette fonction. On aura :

fix + /i,y +*) = fix.y+k) + ^r,(x,y + A) + ^r^^^y + k)+ ...

Actuellement, on pourra développer à son tour de la même manière chacune des fonctions

r,{x,y + kl

rAx,y + ft),

en considérant maintenant x comme une constante et y comme la variable.

En portant dans l'équation précédente le résultat de ces développements, on obtiendra le développement triangulaire

fix + h,y + k)^r{x,y) + 5 Tx (x,y) + ^r^ + î^Tx'

+ -j r» [x, y)-^jj Tx, + j^jf^^rx'» + etc.

rC

Il est à remarquer que dans ce développement les termes d'une même colonne verticale représentent, à la factorielle près, la différentielle totale d'ordre correspondant de la fonction f correspondant à Thypothèse de x et y variables indépendantes, dans laquelle on aurait remplacé les différentielles dx et dy par les accroissements finis A et A; (3G).

Il suit de là que dans les cas où h et k deviennent infiniment petits, on peut écrire :

ax + dx,y + dy) - A'x.î/) = ^/^+ îï+ â + -

formule analogue à celle déjà trouvée (T8), et qui donne en fonction des infiniment petits d'ordre supérieur laccroissement <lifférentiel d'une fonction de deux lettres.

En faisant j? = »/ = 0 et remplaçant ensuite h par a? et A; par y, on obtiendra pour la fonction de deux lettres le développement analogue à celui de Maclaurin :

r(x,y)= nO,0) 4- \ rx(0,0) + ~ rx'(0,0)

+ |r»(0,0)+B^rxv(0,0) +etc.

+^rv(o,o).

Toutes ces formules s'étendraient sans difficulté au cas où la fonction renfermerait un plus grand nombre de lettres.

Remarque importante. — Pour que ces développements soient applicables, il faut, bien entendu, que les fonctions développées satisfassent aux conditions même du développement, c'est-à-dire qu'elles restent finies et continues ainsi que leurs dérivées dans l'intervalle considéré, que les séries qu'elles fournissent soient convergentes, et que les restes de ces séries tendent tous vers zéro.

D. RECHERCHE DE LA VRAIE VALEUR DES FONCTIONS, QUI POUR CERTAINES VALEURS DE LA VARIABLE, SE PRÉSENTENT SOUS UNE FORME INDÉTERMINÉE.

1. On appelle vraie valeur d'une fonction qui, pour certaines valeurs de la variable, prend une forme indéterminée, la valeur assignée à cette fonction par la loi de continuité, ou, en d'autres termes, la valeur déterminée infiniment voisine. Les principales formes d'indétermination sont :

- — Oxoo !• etO*-

0 oo

CALCUL DIFFERENTIEL i23

Nous étudierons d'abord la première, à laquelle peuvent se ramener toutes les autres, ainsi que nous le ferons voir. Soit

une fonction telle que, pour 0?= a, fix) et ç {x) s*annulent.

Supposons f{x) et <^{x) développables par la série de Taylor aux environs de la valeur j7 = a. Soit donc

On en conclut :

Faisant x = a dans cette identité, on a, à cause de

expression qui doit donner la valeur de la fonction y pour toute valeur de h.

Supposons actuellement h infiniment petit, la valeur de la fonction tendra vers une limite qui sera

c'est la vraie valeur cherchée.

Si/^(a) et <p'(a) étaient séparément nuls,- la vraie valeur cherchée serait nulle ou infinie. Si ces deux dérivées étaient nulles simultanément, le dévelop-

pement conduirait pour la vraie valeur au rapport des dérivées secondes

rja)

et, en général, on peut dire que la vraie valeur cherchée est le rapport des valeurs prises pour x=a par les premières dérivées de viême ordre qui ne devieniient pas simultanément nulles,

80. Si l'indétermination se présentait sous la forme — , on serait encore ramené à la règle précédente. Ainsi, soit

et a une valeur de x pour laquelle f{x) et <^{x) deviennent infinis. On peut écrire

et, appliquant la méthode précédente, on a, pour une valeur a+A voisine de a,

9' fa)

fia -f- /i) [y jai]

e et e' étant des quantités s'annulant avec h.

Soit A la vraie valeur cherchée, l'équation précédente devient à la limite

d'où l'on déduira, pourvu que A ait une valeur finie, comme dans le cas précédent.

CALCUL DIFFERENTIEL i25

Si A.était dqI ou infini, la division par A ne serait pas justifiée. Mais un artifice de calcul permet, dans ce cas encore, de vérifier l'exactitude de la règle. En effet, si la limite cherchée est nulle, celle de

f{x) 4 ay.fx)

sera évidemment égale à a. On pourra donc appliquer la règle à cette nouvelle fonction et Ton aura

d'où

lim£Ë) + i±if)=q£l + a = a.

Si A était infini, lim. yj-l serait nulle et égale par conséquent à iil). Donc

-—— = oo = A»

fia)

Nous donnons cette règle relative à — plutôt comme un exercice de raisonnement et de calcul qu'en raison de son utilité pratique, car, ainsi qu'on en a fait judicieusement la remarque (Bertrand, calcul diflf. S 454), elle ne résout point la difliculté, et si les fonctions f{x) et (^{x) deviennent infinies pour une valeur finie de x, il est facile de s'assurer qu'il doit en être de même de leurs dérivées (*).

(*) La courbe flgoralive de la fonction rend bien compte y de ce fait, et démontre qu'en générai si y devient infini

pour X =: a, le coefficient de la tangente, c'est-à-dire -p t

doit aussi devenir infini pour cette valeur de la variable.

OO. On ramène encore sans diflBculté aux formes 77 ou —

les autres formes d'indétermination qui peuvent se rencontrer. Ainsi :

0 X cy> se ramène à ttt" = â'

ià)

(fi , donne en prenant les logarithmes 0 x 00,

1 * donne de même 0 x 00,

donne encore 0 x oo.

cr^^

etc.