Propriété analytique des fonctions iiomo

iènes. — Faisons varier dans Yidentiié précédente la lettre t seulement et dérivons les deux membres relativement à cette lettre ; on obtiendra ainsi la nouvelle identité :

(2) f'ix'X + r iir-y + r'i».^ + ... = m<»-> /-(x, y. z...)

qui devra être vérifiée pour toute valeur de t, œ, y^z...

Si, en particulier, t=l, elle se réduit à

(3) x/'x + yff + ^r. + •.. = rnf{x,y,z...)

équation aux dérivées partielles à laquelle toute fonction homogène doit satisfaire.

Remarquons que Téquation (2) étant identique en x, y, z et /. peut être différentiée à son tour par rapport à la lettre t; elle fournira ainsi la nouvelle relation

et pour i = 1 cette relation devient :

(5) Sx«r.« + S2xy rT^=:=m{m - i)f(x, y.z,..)]

En poursuivant le même raisonnement sur des dérivées d'ordre supérieur, on est conduit à une relation générale entre les dérivées partielles d'ordre n d*une fonction homogène, relation que Ton peut écrire sous la forme symbolique :

(6) (xfs + yr»+ zr»+ )-= m(m — 1)... {m'-n + i) r{x,y,z...)

ainsi qu'il est facile de s'en assurer.

05. Remarque. — Toutes les dérivées partielles de la fonction homogène qui entrent dans ces relations sont elles-mêmes des fonctions homogènes. En effet, puisqu'on a identiquement

(7) nix,ty,tz...) = t^r[x,y,».,.)

et dérivant par rapport à z par exemple, on trouve

c'est-à-dire

f'u {tx, ty, tz...) = /— V. (X, y, z...)

relation qui exprime précisément l'homogénéité de /*..

CALCUL DIFFÉRENTIEL i29

Mais la réciproque de cette propriété n'est pas exacte.

Par exemple, la fonction - est homogène, puisque

tX X

et la fonction Lx dont elle est la dérivée n'est pas homogène, car

Ux = U+ /.x < t^Lx.

En effet, pour ic =: I ,

i» Lx = 0, et

U + Lx = L<5 0.

IV. — ÉLIMINATION DES CONSTANTES ET DES FONCTIONS ARBITRAIRES DANS LES RELATIONS ANALYTIQUES