ÉLIMINATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES
OC Lorsqu'une relation donnée entre certaines variables contient dans son expression une ou plusieurs constantes arbitraires, on peut se proposer de former une équation différentielle à laquelle les variables soient obligées de satisfaire et dont les constantes en question aient disparu.
Le problème ainsi posé est toujours susceptible d'une solution.
97. Cïas d'une relation à, deux variables. — Soit, par exemple, une relation à deux variables
renfermant une constante a.
On a la liaison différentielle de forme {b)
(P) F'x dx + F\ dy = 0,
à laquelle x, y et leurs différentielles dx, dy doivent satisfaire.
Éliminant la constante a entre les équations (a) et (g) on obtiendra la relation cherchée.
On peut opérer cette élimination de différentes manières : par exemple en résolvant l'équation (a) par rapport à a, et la différentiant après lavoir mise sous la forme
L'équation différentielle
(p') 0 = <p'x dx + o'y dy
qui en résulte ne renferme pas a et fournit directement la relation qu'on veut obtenir.
De quelque manière d'ailleurs que l'on opère, il est évident qu'on doit toujours arriver au même résultat.
Si plusieurs constantes arbitraires, en nombre n par exemple, entraient dans la relation donnée, on serait conduit par un calcul tout analogue au précédent, mais qui exigerait n dérivations successives, à une équation différentielle du n*^ ordre. Rien n'empêcherait d'ailleurs de simplifier les résultats au moyen de l'hypothèse spéciale consistant à traiter l'une des variables en variable indépendante, seulement il faudrait avoir soin de tenir eompte de cette hypothèse dans l'équation finale.
OS. Application À un exemple. — Soit la] relation :
(a) (x-a)»+(l/-b)*=RS
on cherche une relation différentielle entre a? et y, indépendante des constantes a, b et R.
Traitant x en variable indépendante, on écrira la série des relations différentielles :
(?) (x-a)eix + (y — 6)c/y =0,
(t) dx^ + di/» + (y — 6) d*y = 0,
(S) 3 dyd^y + (i/ — 6) d»j/ = 0.
L'élimination de a^ b et R entre ces quatre équations est facile.
En tirant {y — b) de la relation (y) et portant dans (5), il vient :
ou:
ou enfin :
3dy(dV)«— (dx« + dy«)d«y = 0,
'Èm'-['*{wvè-'-
Telle est Téquation cherchée : en tenant compte de l'hypothèse faite, on remarquera que les coeflBcients différentiels
y(, j^, -r^ représentent les dérivées de y considéré comme
fonction de x par la relation donnée.
On a vu, en géométrie analytique, que Téquation (a) repiésentait un cercle de centre (a, b) et de rayon R ; Téquation (e) exprime donc une propriété commune à tous les [cercles, quel que soit leur centre et quel que soit leur rayon.
99. Cas d'une relation renfermant plus de deusL variables. — Soit la relation à n variables :
en considérant Tune des lettres, z par exemple, comme fonction des n — 1 autres et différentiant la relation successivement par rapport à chacune des variables indépendantes qu*elle renferme, on trouve :
F', dx + F', ^ dx = 0, dx
^^' ^ r, dy + F'. 5^ dy = 0,
etc.
Si, par exemple, la relation donnée ne renferme que deux constantes à éliminer, on choisira deux relations de forme (2) et entre ces deux relations et l'équation (1) on fera rélimination demandée.
On arrivera ainsi à une liaison différentielle répondant à la question.
Seulement, il est à remarquer que dans ce cas il y a une indétermination d'autant plus grande que le nombre des variables contenues dans F sera lui-même plus grand, et Ton obtiendra autant de relations différentielles qu'on pourra choisir de groupes de deux relations parmi les équations (2). Ces relations diffétielles renfermeront chacune des dérivées partielles différentes de z.
Remarquons également que le^ équations différentielles auxquelles la méthode conduit peuvent être satisfaites non seulement par toutes les relations de la forme
quelles que soient les valeurs attribuées aux constantes, mais encore par d'autres relations, ainsi que nous le verrons plus loin à propos des courbes enveloppes et dans l'étude du calcul intégral.
