ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES

lOO. Soit une relation :

où u et V sont deux fonctions connues de x, y, z... et 9 une fonction arbitraire. La relation (i), malgré sa grande indétermination, n'est pas cependant absolument quelconque et l'on peut se proposer de trouver une condition vérifiée par x, y, z et leurs différentielles et qui soit indépendante de la forme de ç. Pour cela, différentions la relation (1) successivement par rap-

port à jr et par rapport à i/, (3 étant par la relation (1) elle-même une fonction de ces deux lettres).

Nous obtiendrons ainsi les équations :

Les seules fonctions arbitraires dans ces deux relations sont ?'• ®t ?'•' ^t comme les deux équations sont homogènes par rapport à ces fonctions, on les éliminera sans difficulté et Ton obtiendra ainsi IVquation suivante, renfermant les dérivées partielles de z et les trois variables.

dx cijc

dy ^ dy

Il est essentiel de remarquer que la méthode exige, pour (ître applicable, Texistence de trois variables au moins dans les fonctions u et v.

Si ces fonctions renfermaient n variables, on serait conduit à [n — 2) relations entre les lettres et les dérivées partielles de l'une d'elles, considérée comme fonction des (n — 1) autres.