Multiplication et division fiéoniétriqueti
En algèbre ordinaire, le produit d'un multiplicande a par un multiplicateur b est un nombre c qui doit être au multiplicande comme le multiplicateur est à l'unité.
Nous transporterons cette définition dans l'algèbre géométrique en la complétant par la notion de direction. Ainsi, étant prise comme unité géométrique une certaine grandeur OH ou h ainsi qu'il a été dit plus haut, le produit d'une grandeur géométrique a par une autre grandeur géométrique b sera une troisième grandeur géométrique c, qui devra être en grandeur et en direction au multiplicande a comme le multiplicateur b est à l'unité OH ou h.
En d'autres termes, les deux triangles formés par OC ou c et OA ou a d'une part, OB ou b et OH d'autre part, devront être semblables, et, par conséquent le produit de a par b s'obtiendra en construisant sur OA un triangle semblable au triangle formé par OB et par l'unité.
Cette définition du produit géométrique donne toujours le moyen
graphique de le construire sans difficulté ; on notera cette opération par le signe X, comme en algèbre. Ainsi, on écrira:
La définition de la division géométrique résulte immédiatement de celle de la multiplication dont elle est l'inverse.
On peut encore donner à la définition du produit une forme un peu différente. En effet, d'après sa construction même, le
0 Ce changement de signe doit être considéré comme correspondant à une yariation de ± w dans la valeur de Targumen/, le module devant toujours rester positif.
COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET LNTEGRAf.
produit s'obtient en faisant la somme des arguments du multiplicande et du multiplicateur et en prenant le produit algébrique de leurs modules.
Ainsi défini, le produit est évidemment indépendant, comme en algèbre ordinaire^ de tordre des facteurs, et ce résultat s'étend sans difficulté à un nombre de facteurs quelconque.
Une autre vérification importante consiste à remarquer que dans Talgèbre géométrique comme dans l'algèbre ordinaire :
ou qu'en d'autres ternies on peut indifféremment, pour faire le produit d'une somme par une quantité donnée, multiplier par cette quantité la somme effectuée, ou multiplier d'abord les par"
ties qui la composent et faire ensuite la somme de ces produits partiels.
On s'en assure facilement en remarquant que si
en faisant tourner le triangle de ces trois quantités d'un angle 6 égal à celui que fait b avec OH et en amplifiant ses côtés dans le rapport de ft à l'unité, on obtient ainsi un nouveau triangle OAjA/, dans lequel les trois côtés respectifs sont les produits c^ a^ a/ de c a et a' par b. Or, ces trois grandeurs Cj a^ a\ forment un contour fermé, donc
c'est-à-dire
lOO. Puissances et racines aritliniétiques d'ane quantité fl^éométrlque. — La définition de la multiplication conduit immédiatement à celle de la puissance.
Ainsi, élever une quantité géométrique d'argument 6 et de module r à la puissance t7? , ce sera former une nouvelle quantité ayant m% pour argument et r" pour module.
La racine est Tinverse de la puissance : extraire la racine m*^ de la quantité précédente, ce sera former
la quantité d'argument — et de mo-
dule r"" (*).
La racine carrée de 0H'= — 0H = — 1 sera donc une grandeur 01 égale en longueur à l'unité et portée sur la perpendiculaire à OH dans la direction qui fait avec OH Tangle -f •^.
On désigne généralement par i cette quantité.
410. Remarque générale sur les déflnitioiui pré* eédente«. — Remarquons que si les grandeurs géométriques que l'on considère sont toutes portées sur Taxe unité, on peut faire abstraction de leur qualité concrète et les traiter comme des nombres abstraits. Les définitions précédentes appliquées à ce cas particulier coïncident alors avec celles de l'algèbre ordinaire. On peut donc les considérer comme une extension de ces dernières, qu'elles renferment comme cas particuliers.
