Composantes d'une quantité g^éométrlque
D'après ce que nous venons de dire, on peut, dans tous les calculs géométriques définis par les règles précédentes , substituer à une quantité géométrique deux autres quantités dont elle serait la somme.
Une quantité u pourra ainsi se décomposer en ses deux projections sur OH et 01. En désignant par a et h les gran-
j»),.m représente ici la racine arithmétique m^"^* de r, susceplible d'une valeur unique et toujours positive comme r : au contraire, l'argument Opou-
deurs algébriques de ces projections et par h Tunité géométrique, on aura évidemment :
u = a/i + bi.
Nous donnerons souvent aux quantités a et 6 le nom de composantes de la quantité géométrique suivant les axes.
Généralement, dans l'algèbre géométrique à deux dimensions, on remplace par l'unité la lettre h ; les grandeurs géométriques, décomposées suivant les axes, sont alors de la forme a + bi, et il est entendu que toutes les quantités algébriques telles que a , qui ne sont multipliées par aucun facteur géométrique, représentent des grandeurs portées sur Taxe OH.
On peut encore, en désignant par r le module et 8 l'argument
de la quantité ti, mettre cette quantité / sous la forme :
w = r(/icosO + isinO;,
ou simplement :
u = )'(cosO + isinO),
J7 d'après la remarque précédente.
Les quantités géométriques se mettent ordinairement sous Tune ou Tautre de ces deux formes, qui les rendent facilement comparables entre elles.
Deux quantités géométriques symétriques par rapport à Taxe
unité OH, sont dites conjuguées; leurs expressions sont alors de la forme
a'^'bi et a — 6i,
ou
r(cosO + isinO) et r(cosO— isinO).
vant être augmenté d'un multiple arbitraire de 2k, le quotient — est susceptible m déterminations distinctes. On trouve ainsi pour la racine géométrique m"»« d*une quantité donnée, m grandeurs ayant leurs extrémités sur un polygone régulier de m côtés et de centre 0.
li2. Inflniment petits séométrlqnes et dlirérentieUes s^ométrlques. — Une quantité géométrique est dite infiniment petite lorsque sa longueur est infiniment petite, quelle que soit d'ailleurs sa direction.
Une quantité géométrique étant supposée varier d'une façon continue, deux valeurs infiniment voisines diffèrent par une quantité infiniment petite qui sera dite la différentielle géométrique de M, et qu'on notera par le signe dUy par analogie avec l'algèbre ordinaire.
Toutes les règles de calcul infinitésimal démontrées pour les infiniment petits de l'algèbre, s'appliqueront évidemment aux infiniment petits de l'algèbre géométrique.
113. Avant d'aller plus loin dans l'étude de ce mode de calcul, nous donnerons quelques applications des principes simples que nous venons d'établir; ces applications montreront l'utilité du calcul géométrique appliqué à des questions d'algèbre ou de trigonométrie ordinaire.
1** Expression de sin mw, cos mco, tg mw, en fonction des Jouissances de sintù, cos (a, tgtù : formule de Moivre.
D'après les définitions données plus haut, si
w* = (cosmu) 4- 1 sin mw).
Mais d'autre part, d'après une vérification faite, on peut, comme dans l'algèbre ordinaire, substituer à tout facteur d'un produit un binôme dont ce facteur est la somme. Par conséquent, au lieu d'élever directement la quantité ic à la puissance ^, on pourra multiplier ?n fois par lui-même le binôme
COSo> -f- 1 siOb),
i42 COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
d*où la relation (1) cosmos + isînmw = (cosw-h isinw)*,
connue sous le nom de formule de Moivre, qui doit être identiquement satisfaite.
Le développement du binôme de Newton, applicable d'ailleurs sans difficulté aux quantités géométriques, donne pour le second membre :
COS*» ci> + -p COS*»-' w (t sm m) h i-p^r — ' cos^-'oj (l" sm*ca)
ou, à cause de i* = — 1 :
«. . ^ • «.« • in(m — 1) ___, . ,
cos* c«) + — i cos**-' 0} sm o> i— - — .'cos"*~" co sm'w
7n(m — 1'. (m — 2) . ^ . . , -—-5 ' t cos"'-*w sm* 0) +...
c'est-à-dire :
COS"'ci> i-— — ^ cos"*-* tu sm"<a +... I
-f 1 --C0S»»-*O) smw ■ — -^ •'COS"'~'a)Sm"cû +...
Et, en identifiant cette quantité avec le premier membre de Téquation (1), on obtient, par l'égalité des composantes, les deux formules suivantes, qui résolvent la question proposée :
(2) cosmw =cos'»w i— — — -'cos'*"*wsm'w +...
(3) smm(i>=---cos"'"*co smw — — i — —-^^ ^cos'"-'a)Sin"c«>-f...
Ces deux formules donnent lieu à quelques remarques importantes. On voit, par exemple, d'après leur forme, que cos mtù s'exprime toujours rationnellement en fonction de cosiù^ tandis que sin mo) ne peut s'exprimer sans radicaux en fonction de sin (I) que si m est un nombre impair.
Divisant membre à membre, on obtient la valeur de tg mw en fonction de ^^ a> :
(4) tgmco = - ^'^^
