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ii4l. g"* Expression de sin''(ù et cos^<ù en fonction des sinus et cosinus des multiples de Varctù.

Tandis que les formules précédentes expriment les sinus et cosinus de Tare rtnù en fonction des puissances m^^^{vix — l)*~etc. de sin ot et cos (i>, les formules que nous allons actuellement établir et dont nous reconnaîtrons l'utilité dans Tétude du calcul intégral, expriment les puissances ii&**^ de sin u) et cos a> en fonction des sinus et cosinus de ww, (m — l)(o... etc.; la question que nous nous proposons est donc Tinverse de celle que nous venons de résoudre.

Considérons les deux quantités conjuguées :

..^ ( u = coso) + i sinco,

^' ( v=cos(u — isinu).

Les puissances p*~*de t^ et de v seront les deux quantités éga-

lement conjuguées :

On a, d'ailleurs :

u' = cospco 4- i sinpw, uP = cospo) — t sinpcu.

u' + fi' = 2 cospu) w'— î;'=2isinpw.

Elevons à la puissance m l'égalité géométrique :

2 cosw = u + 1?,

il vient, par l'application du binôme de Newton :

en groupant ensemble les termes équidistants des extrêmes.

Ce dernier développement se terminera d'ailleurs par Tun des deux termes

1 •Z*w«*« "TT"

selon que 7?i sera pair ou impair.

Le second membre, en tenant compte des relations (3) et (4; précédemment établies, se réduira à :

2cosmci) + 2 — cos(m— 2)o) + .... -f

2i ; COS'-),