FONCTIONS GÉOMÉTRIQUES I

iiS. — Une quantité géométrique u peut s obtenir en faisant subir à une autre quantité v une série d'opérations géométriques. On dit alors que u est fonction géométrique de v.

On représente la liaison ainsi établie en écrivant

le signe f figurant la série d'opérations géométriques à effectuer sur V pour obtenir u.

Plus généralement, deux variables géométriques peuvent être liées par une relation

et l'on dit alors que l'une d'elles est fonction de l'autre.

Ainsi, pour nous en tenir aux opérations géométriques déjà définies, nous pouvons poser :

It6 COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

II'— 3uu + 5u* — 2a = 0,

a et b étant des quantités géométriques connues. Cette équation signifie simplement que si l'on forme le cube géométrique de u, si Ton en retranche le triple produit géométrique de u par v . si Ton y ajoute le produit géométrique de b par le carré géométrique de V, et si Ton retranche enfin du tout le double de a, on retombe sur l'origine . C'est une condition qu'on impose ainsi aux deux quantités uetVy une liaison entre ces deux variables.

1 i O. Théorème fondamental sur les fonctions fg&a* métriques. — Considérons le cas d'une fonction explicite

On a évidemment, pour des accroissements finis,

u + Au = rtu + Av),

d'où

Au f(t? + Au)— /'(p) Av Au

et, en passant aux infiniment petits,

du f(v-\-dv) — f(v) dv do

Le premier membre est le rapport des deux différentielles géométriques des variables u et v liées entre elles ; le second membre, qui représente la valeur généralement finie de ce rapport, est une certaine fonction de v, que nous appellerons dérivée géométrique de f{v),et qui s'obtient au moyen de f{v)j par une simple extension aux symboles géométriques des règles de la dérivation ordinaire.

Désignons par f\v) ou u^ cette fonction ; nous aurons

iSJ

dv

= rw = «,.

Cela posé, soient v une valeur attribuée à la variable et u la valeur correspondante de la fonction.

A partir de la valeur u, la variable peut subir un accroissement vv' ou dv indéterminé de direction et de grandeur (cette grandeur étant supposée toutefois infiniment petite).

Il en résultera, pour la fonction M, un accroissement différentiel uu* ou du, et la relation précédente

du dô

exprime que le triangle infinitésimal formé par les grandeurs différentielles un' vv' (triangle ombré construit en menant uK = uu^) est semblable à celui que w, fait avec Tunité OH.

Or, Wj ou f\v) ne dépend que de la valeur v de la variable.

Ainsi, quel que soit V accroissement \V de la variable^ il forme^ avec V accroissement correspondant uu' de la fonction^ un triangle invariable de forme.

En d'autres termes, si l'on fait tourner vv autour de v comme l'aiguille d'une horloge, uu' tourne d'angles égaux autour de u, et les longueurs des deux aiguilles infiniment petites sont constamment proportionnelles.

Cette propriété remarquable des fonctions géométriques (*).

0 II est essentiel de rappeler que toute fonc' tf tion géométrique^ d'après la défiaition précise qui en a été donnée, doit* s'obtenir par une série d'opëra/ions géométriques (addition, division, etc.) effectuées sur la variable. Ainsi une quantité géométrique peut bien dépendre d'une autre quantité géométrique sans être ^ pour cela fonction géométrique de cette dernière. Nous citerons, par exemple, la hauteur MB du triangle OMA formé par deux quantités géométriques, l'une constante OA, l'autre variable OM.

qui ne peut avoir son analogue dans Talgèbre ordinaire, s'ex prime algébriquement de la façon suivante : Soit

u = X + Yî;

X et Y sont évidemment des fonctions de x et y, puisque si jt et y sont donnés, v est connu, et que par suite u e ses composantes X et Y, en résultent. Mais ces fonctions ne sont pas quelconques : le théorème précédent leur impose certaines conditions.

Donnons, en effet, à x Taccroissement dx parallèle à l'axe

des j?, X et Y subiront des accroissements qui seront •;"* leurs différentielles partielles :

dX ^ dY ,

par rapport à x, et il en résultera pour u Taccroissement géométrique uu^.

Donnons actuellement à V Taccroissement dy, parallèle à Taxe des y, u éprouvera Taccroissement uii^y, dont les composantes seront :

dX ^ 'dY ^

-7- dy et -j- dy.

dy " dy "

Actuellement, d'après le théorème précédent, Tangle u^uu^

doit être droit, et les longueurs uu„ uu^ sont respectivement

proportionnelles à dx et dy. C'est ce qu'on exprime par les

égalités :

ur w« dy

up uq dx

OU en remplaçant les composantes ty?, ti^, w% us par leurs valeurs :

CALCUL DIFFÉRENTlEli i49

^Y ^ dX ,

dy""^ dy^^ dy

dX ^ ~ d\ ^ ~ dx' -r- dx T- dx dx dx

c'est-à-dire :

/ dY dX \ dy " dx '

i dY dX

[ dx dy

Telles sont les deux relations remarquables auxquelles les dérivées partielles des fonctions X et Y^doivent satisfaire (*).

Mais il résulte de là que Tune même de ces deux fonctions n'est pas arbitraire; car si Ton dérive la première des équations (1) par rapport à j? et la seconde par rapport à y, et si on les retranche membre à membre, il vient

Ainsi, la fonction X doit être telle que si Ton forme ses dérivées secondes partielles par rapport à chacune des lettres qu'elle renferme, la somme de ces dérivées doit être identiquement égale à zéro.

La fonction Y est soumise évidemment à une condition semblable.

11*7. Remarque — Z)^uj? /bnc^/a7W géométriques qui 07it même dérivée ne peuvent différer que par une constante géométrique.

En effet, soient u et v! deux fonctions de r, telles que :

(') En tenant compte des relations (i), Texpression de la dérivée de u se simplifie et se réduit &

-. , dY , . dY

sous celte forme on vérifie aisément que cette fonction satisfait à son tour aux relations (1), et est bien par conséquent fonction géométrique de o, eomroe ceia résulte du reste de la manière dont on Fa obtenue.

du du'

dv du

On a :

d (u — u') <^ __ ^ A dv du dv

La différentielle de u — u' doit donc être nulle, ce qui veut dire que u — u' est invariable.