FONCTIONS GÉOMÉTRIQUES TRANSCENDANTES
lis. Déflnition et détermination de Pexponeiitielle et du losaritlinie géométrique. — En algèbre ordinaire, quand on définit la fonction exponentielle
on donne, avec sa définition même, le moyen de la calculer pour toute valeur de .r.
La fonction se trouve ainsi parfaitement déterminée, et nous avons reconnu qu'elle satisfait à Téquation diiférentielle :
(1) dy=iydx.
Cherchons à déterminer une fonction géométrique m de v, satisfaisant à la relation différentielle géométrique
(2) * du = udv
analogue à la précédente.
Il s'agit de pouvoir construire pour chaque valeur attribuée à V la grandeur correspondante u de la fonction.
Soient
K = X + Yt, v = x -{-yi;
tfï portant ces valeurs dans la relation (2), il vient
(dX + idY) = (X + Yi) (dx + idy),
CALCUL DIFFÉRENTIEL dSl
OU
(dX - \dx + \'dy) + 1 (dY — Xdy — Ydx) = 0 ; cette équation équivaut aux deux conditions algébriques :
(3) On en déduit
dX = Xdx — Ydr/, dY = Xdy + Ydx.
XdX + YdY = (X« + Y«)dx,
d'où
W aJc-2 X«+Y«
et de même,
doù
XdY — YdX = (X« + Y»)dî;,
XdY—YdX (5) . dy= ^,^y.
On^ satisfait aux relations (4) et (5) en posant :
(6) i/ = arctgj (•).
Ces équations résolues, par rapport à X et à Y, donnent
j (X = e-cosy,
^ ^ ^ Y = e- sin y.
(*) Afla de préciser l'expression des fonctions géométriques que nous définissons, comme on Fa fait dans l'algèbre ordinaire, nous n'ajoutons pas aux valeurs de x et y les constantes arbitraires dont ces variables pourraient être augmentées sans modifier leurs différentielles. Par suite de cette restriction, les fonctions que nous obtiendrons ne seront pas les fonctions les plus générales satisfaisant à la condition difl'érenlielle proposée, mais elles n'en difTéreront que par les constantes arbitraires que nous avons supposées égales à léro et qui n'ont pour effet que d'augmenter la variable x-^-yi d'une conHtante géométrique arbitraire.
io2 COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTEGRAL
Ainsi, étant donnée la variable géométrique
t? = X H- yi, la fonction w, que nous avons déterminée par la condition
du=z udv, sera :
7) u = X + Yi = e*(cosî/ + isiny).
Cette fonction sera dite Y exponentielle géométrique de v, par analogie avec* l'exponentielle de l'algèbre ordinaire : on la représentera par le symbole c".
Réciproquement, v sera dit le logarithme népérien géœné-
Irique de u.
Si
u = X + Yi,
on aura
(8) v^x + yi = L v/X> + Y» + i arc tg ^
et on représente v par le symbole Lu.
La légitimité de ces notations pour désigner les fonctions qu'on vient de définir serait contestable si, comme cas particulier, elles pouvaient se trouver en contradiction avec celles de l'algèbre ordinaire. Mais il est aisé de s'assurer qu'il n'en est pas ainsi : par exemple, si v se réduit à une quantité algébrique jt par le fait de y ==o, u devient V exponentielle algébrique ordinaire c*; et réciproquement, si u se réduit à X, v devient /.X, c'est-à-dire le logarithme népérien ordinaire de la quantité algébrique X,
D'après ces nouvelles définitions, élever e à une puissance géométrique v on x-\- yi, ce sera former la quantité
it = e» = e*+»*' z= e* (cosy -i- i sin y) ;
prendre le logarithme géométrique d'une quantité géométrique u ou X + Yf , ce sera construire la quantité
t5=r/,u = LX + Yt) = L v/X* + Y* H- iarctg j.
Ainsi se trouvent parfaitement définies les deux premières transcendantes géométriques^ c'est-à-dire deux fonctions qui ne peuvent s'obtenir en partant de la variable que par un nombre illimité d'opérations telles que addition, soustraction, multiplication, etc., géométriques (*).
