Si Ton met la quantité u sous la forme

u = pfcosco + 1 sinco),

l'expression de son logarithme deviendra :

v = Lp + t(«i> + îfciï).

L'angle tù représente le plus petit arc correspondant à la tan-

trente ^ et le nombre entier k étant arbitraire, on voit qu'une

quantité donnée admet une infinité de logarithmes dont les extrémités sont situées sur une parallèle à l'axe des Y, et diffèrent par une même constante 2x1. Si, pour préciser l'expression trouvée, on convient d'y faire k = o, on obtient ainsi ce que Gauchy appelle la valeur principale du logarithme :

r = Lp + iw.

Cette valeur se construit très facilement lorsque la quantité u = pfcosw -|- i sinci)) est donnée, en portant sur l'axe OH une longueur égale au logarithme néprien de p, et sur Taxe 01 une longueur égale à l'arc ci> compris entre — x et

n En effel, s'il en était autrement, la liaison que nous venons de définir pourrait s'exprimer par une équation géométrique entre u et t? o^\ n'entreraient pas de formes transcendantes, et dans le cas particulier où la variable »e réduirait à une quantité algébrique, il s'ensuivrait que le logarithme ou l'exponentielle de celle variable pourraient se calculer par un nombre limité d'opérations algébriques ordinaires, ce qui est impossible.

II est à remarquer que d'après ce qui vient d'être dit, Texponentielle

représente l'unité portée dans une direction faisant Tangle ta avec Taxe OH. Toute quantité géométrique

p(cosco + t sinco) pourra donc s'écrire sous la forme d'une exponentielle pe-*.

1 édO. — Il est facile de vérifier que la fonction exponentielle ^géométrique satisfait, comme l'exponentielle algébrique ordinaire, à la condition :

Pour cela, il suffit de remplacer les symboles ô**, e'c'*"^* par les quantités géométriques qu'ils représentent.

Cette propriété peut s'exprimer en disant que : Le logarithme {/ëométrique (T un produit est la somme des logarithmes géométriques des facteurs.

121. Déflnitloii de l'exponentielle a*"". — Une quantité géométrique quelconque a = p (cos<i) + isino)) peut se mettre, d'après ce qu'on vient de voir, sous la forme ;

pe^ ou e*,

en posant i; = /.p -f- wi.

Pour définir actuellement la puissance géométrique a^ de la (juantité géométrique a, remplaçons a par e* et convenons par définition d'étendre au symbole algébrique

au» ^ (gfju»

la règle de l'algèbre ordinaire. Nous écrirons alors :

et le symbole a*", qui n avait jusquHci aucune signification. devra être considéré comme représentant la quantité géométrique

qui est parfaitement définie.

Cette définition étant une fois admise, on vérifie immédiatement que :

et :

il suit de là que les règles ordinaires du calcul des exposants s'appliquent à ces nouveaux symboles, dont l'emploi se trouve justifié d'ailleurs par ce fait qu'ils retombent comme cas particulier dans les notations de Talgèbre ordinaire.

L'application de ce qui vient d'être dit fait voir que par le symbole

on doit entendre la quantité géométrique

(eî')'=e-î.

1S2. Expre««ioo de« sinus, cosinus et tangente d'un are en fonction des exiponentielles séomé* triques. — La relation qui définit l'exponentielle géométrique

ilevient, si l'on y fait a égal à zéro, et b successivement égal à + a: ou — ir,

e'' = cosx + t sinx, e-" = cosx — 1 sin a?;

on en déduit

cosx =

sinx =

Ces formules, qui jouent un rôle important en analyse, expriment

156 œURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

une liaison remarquable entre les transcendantes trigonomêtriques et les transcendantes exponentielles.

La liaison apparaît plus complète encore par la définition des sinus, cosinus et tangentes géométriques ; ces dernières fonctions se déduisent des sinus, cosinus et tangentes de l'algèbre ordinaire, par une extension tout analogue à celle qui de l'exponentielle algébrique nous a conduits à l'exponentielle géométrique.

Nous donnerons les expressions des sinus et des cosinus géométriques dans la seconde partie de ce Cours.

123. Séries séoniétriques. — Il est évident que Ton peut former des séries avec des quantités géométriques conime on en a formé avec les quantités algébriques ordinaires.

Les termes devront être portés à la suite les uns des autres et

figureront une ligne polygonale telle que 0, 1, 2, 3, ..., n — 1, n.

La somme S^ des n premiers termes sera la grandeur géométrique On, et la somme de la série, si elle est convergente, sera la limite vers laquelle tendra Ofi lorsque n augmente au delà de toute limite.

Pour l'étude d'une série géométrique, il est utile de considérer la série algébrique

Pi Pi Ps Pi •••» P»

formée par la suite des modules des termes de la série proposée.

La somme des termes de cette dernière série représente la longueur de la ligne polygonale, et il est évident géométriquement que si cette somme tend vers une limite finie, le point n ne peut ni s'éloigner à l'infini, ni osciller perpétuellement autour de certaines positions. Donc :

Si la série algébrique des modules est convergente, lu série géométrique doit Vêtre également.

Mais la réciproque de cette proposition n'est pas exacte.

On dit qu'une série géométrique est absolument convergente lorsqu'elle est convergente et que la série formée par ses nio-

CALCUL DIFFÉRE.NTIEL 137

(iules Test également : on démontre que la valeur d'une série absolument convergente n'est pas altérée lorsqu'on change l'ordre de ses termes.

124. Il résulte de ce qui vient d'être dit, que la substitution de xi à X dans une série algébrique dont la convergence est démontrée fournit une série géométrique également convergente.

Prenons, par exemple, la série algébrique

dont la convergence a été reconnue pour toute valeur de œ et qui représente l'exponentielle e*, la série géométrique qu'on en déduit

xi x" xH X* xH

sera convergente.

D'ailleurs, on peut l'écrire (à la condition d'intervertir l'ordre des termes, ce qui se justifie dans le cas actuel par une remarque du paragraphe précédent).

V* ■" n "^ \jn "'") ■*■ *vT *" ro "^ 1.23.4.5 ""-7

On reconnaît dans les deux parenthèses les séries algébriques qui représentent cosa? et s'mx.

La série (2) est donc égale à

cosx + tsinx.

D'autre part, on a vu que le symbole (f* représentait précisément la quantité cosa? -f- i sin j^, donc e^ est égal à la somme de la série géométrique

Ainsi l'exponentielle géométrique est développable en série de la même manière que l'exponentielle de l'algèbre ordinaire.

1S5. Fonctions monodronie» et -non monodromes, points ordinaires» points critiques. — La

définition que nous venons de donner de quelques fonctions

géométriques nous permet actuellement de compléter c^tte étude par un certain nombre de définitions nouvelles.

Une fonction est dite monodrome lorsqu'à une valeur donnée de la variable correspond une seule valeur de la fonction. Ainsi, les fonctions

sont monodromes.

Au contraire, les fonctions:

u = Lu.

ne le sont pas, puisqu'à une valeur de v telle que rH, que Ton peut toujours écrire ^-^N + **«)'(*), correspondent pour la preauère m valeurs distinctes de u résultant de l'expression

1 «+9Jlic.

OÙ l'on fait &' successivement égal à 1, 2, 3... (m — 1), et pour la seconde une infinité de valeurs correspondant à toute valeur entière attribuée à k dans l'expression :

En général, lorsqu'une fonction n'est pas monodrome, à chacune des valeurs distinctes fournies par une même valeur de la variable correspond par continuité une branche distincte de la fonction. Chacune de ces branches peut être considérée comme monodrome tant qu'elle se meut dans la région du plan où elle ne croise pas d'autres branches.

Dans les exemples cités plus haut, les différentes branches de la fonction résultant de l'addition d'ua multiple de 2:: à l'argument

f) L'addition d'un multiple quelconque de 2;c à l'argument d'une quantité géométrique, ne modifie, en effet, ni la direction de. cette quantité ni sa grandeur.

de la variable, il est à remarquer que si la variable décrit une courbe fermée autour de l'origine de manière à revenir à sa valeur première tv, son argument s*étant augmenté de rh 2r dans la rotation, la fonction ne revient paa à sa valeur jMÎmitive Uo, mais passe d'une de ses branches à une autre en u'^ (*).

Dans d'autres cas, Taddition d*un multiple de 2x à Targument de la variable, pourra modifier ou ne pas modifier la valeur de la fonction, selon que cet accroissement sera considéré comme résultant de tel ou tel circuit décrit par la variable.

Prenons, par exemple, la fonction très simple

Si la variable, partant d'une position v, y revient après avoir décrit un circuit tel que (c), son argument s'augmente de 2tc, mais celui de {v — a) n'est pas modifié.

Si l'on substitue, au contraire, au circuit (c) le circuit (c'), enveloppant à la fois l'origine et le point a, les arguments de v et de [v — a) s'augmentent simultanément de 2ic et l'on passe d'une valeur de u à une valeur difTérente.

Ces exemples suffisent pour faire comprendre qu'il est impossible, en général, d'isoler les différentes branches d'une fonction, puisque par continuité on est ramené d'une branche sur une autre.

On appelle point ordinaire pour une fonction donnée, tout point du plan tel que la fonction reste monodrome, finie et con-

(*) Le sig^e db devant 2n correspond au sens dans lequel la rolatîon s'effectue; si la variable décrivait un contour plus compliqué formant plusieurs circonvolutions autour de rorigine, il faudrait ajouter un multiple de 2ic égal au nombre des circonvolutions en comptant négativement celles qui sont etTectuées dans le sens négatif des angles.

tinue ainsi que sa dérivée quand la variable passe en ce point et reste dans son voisinage.

Parmi les points ordinaires, il faut remarquer ceux pour lesquels la fonction s'annule.

Nous énoncerons, au sujet de ces points, le théorème suivant dont la démonstration sera donnée dans la seconde partie de ce Cours.

Si une fonction f (v) s'annule pour v = a, en restant continue et monodrome aux environs de >ce points elle pourra se mettre sous la forme :

m étant un entier positif et ç (v) une fonction finie continue et mononodrome aux enviroyis du point a et qui ne s'annule pas en ce point.

Le point a est dit un zéro de la fonction, et m est son degré de multiplicité.

Lorsqu'un point du plan n'est pas un point ordinaire, on lui donne le nom de point critique.

Les points critiques peuvent être de diverses natures.

Si, par exemple, une fonction monodrome f{v) devient in&nie pour v = a, mais si ce point est un point ordinaire pour son inverse, on aura, d'après le théorème précédent ;

Mais ç {v) étant une fonction continue, monodrome et différente de zéro aux environs du pointa, son inverse est également finie, continue et monodrome dans cette région, et nous démontrerons dans la seconde partie du Cours (Théorème de Cauchy) qu'une pareille fonction est toujours développable par la formule de Taylor. On aura donc en prenant v — a comme accroissement :

"TT = "7 — n :i=Ao + Ai(u — a) + A, (u — a)* + ...»

9 (u) ?[a + (u— a)] 0 ' iv^ /T^ IV / •

CALCUL DIFFERENTIEL 161

d'où ;

la fonction ^ (v) restant finie continue et monodrome aux environs du point V = a.

Le point a est dit un pôle ou un infifii de la fonction et l'exposant m est son degré de multiplicité.

On appelle point singulier essentiel un pôle dont le degré de multiplicité est infini et plus généralement encore tout point critique qui n'est pas un pôle et pour lequel la fonction reste monodrome.

Si plusieurs branches d*une fonction non monodrome se croisent en un même point, ce point est encore un point critique, mais d'une nature tout autre que les précédents : on lui donne le nom de branchement ou point de ramification.

Par exemple, le point a est un branchement en même temps qu'un zéro pour la fonction

car ses vi valeurs deviennent nulles pour v = a.

Nous nous bornerons à ces indications sommaires sur les points critiques des fonctions.

126. Fonctloiis périodiques et dioublement péricH dlques. — Dans l'algèbre ordinaire, une fonction est dite périodique lorsqu'elle ne change pas de valeur quand on ajoute une quantité donnée a à la variable ; cette condition s'exprima par l'égalité

qui doit être identiquement vérifiée quel que soit x.

Par exemple, sin x et cos jj, sont des fonctions périodiques admettant 2x pour période.

La même définition s'étend naturellement aux fondions géométriques; la période est alors une quantité géométrique.

Il est évident qu'une fonction qui admet pour période a, admet aussi pour périodes tous les multiples de a. Il est donc essentiel, lorsqu'on a reconnu l'existence d'une période dans une fonction, de s'assurer si cette période n'est pas un multiple d'nne période plus petite.

Nous appellerons période élémentaire toute période qui n'est pas réductible à une période plus petite.

Toute fonction réelle qui admet plus d'une période élémentaire est nécessairement constante. — Supposons, en effet, qu'une pareille fonction admette deux périodes distinctes a et p. Le rapport de ces deux périodes sera nécessairement incommensurable, car s'il ne l'était pas, il s'exprimerait par celui de deux nombres entiers p et q que l'on pourrait toujours ramener à être premiers entre eux. On aurait donc :

et la valeur commune y de ces deux quotients serait une période de la fonction proposée. En effet, cette fonction doit reprendre la même valeur toutes les fois que la variable s'augmente de la quantité

ma 4- np,

c'est-à-dire

où m et n sont deux nombres entiers quelconques ; mais lorsque p et q sont premiers entre eux, on sait que l'équation

mp + ng = 1

est toujours résoluble en nombres entiers. On pourrait donc choisir m et n de manière à faire

ma + np= y,

ce qui prouve bien que y serait une période, dont

P = *, ne seraient que des multiples.

Supposons donc que le rapport — soit incommensurable et dési-

gnons par [i. sa valeur.

La fonction reprendra la même valeur toutes les fois que la variable s'augmentera de

ma — np=:p(m|x — n).

Or, on sait qu'on peut trouver des nombres entiers tels que la différence

rrifA — n

soit aussi petite qu'on voudra.

Donc à partir d'une situation quelconque, on peut donner à la variable un accroissement différentiel pour lequel la fonction conserve la même valeur, ce qui veut dire que la dérivée de cette fonction est constamment nulle et qu'elle se réduit par conséquent à une constante.

Toute fonction géométrique qui admet deux périodes élé^ mentaires ayant entre elles un rapport réel, c'est-à-dire de mêws direction^ est nécessairement constante, — En effet, par un raisonnement semblable à celui que nous avons employé pour les fonctions réelles, nous reconnaîtrons que le rapport des deux périodes doit être incommensurable et que la variable peut subir un accroissement infinitésimal de direction parallèle aux périodes, sans que la fonction change de valeur.

Mais, d'après le théorème fondamental sur les fonctions géométriques (116), si une fonction reste constante à partir d'une situation donnée pour un déplacement différentiel particulier attribué à la variable, elle doit aussi rester constante lorsqu'on change la direction do ce déplacement, puisque le

rapport de direction et de grandeur des accroissements de la fonction et de la variable est indépendant de la direction de ce déplacement ; donc, etc.

Toute fonction géométrique qui admet plus de deux périodes élémentaires est nécessairement constante. — On peut le démontrer géométriquement de la manière suivante (Bertrand, Calcul diff, et int.y § 609).

Supposons qu'une fonction admette trois périodes a, 3, y. A partir d'un point a de rayon v arbitrairement choisi dans le plan, formons les trois réseaux de parallélogrammes qu'on obtient en prenant a et p, p et y, y et a comme côtés ; puis, à partir de chacun des sommets de ces réseaux, imaginons qu'on construise des

réseaux identiques aux premiers. Nous formerons ainsi un système de réseaux multiples dont on a tracé les premiers éléments sur la figure ci -jointe, et qui peut être considéré comme représentant la projection sur le plan des parallélipipèdes égaux et juxtaposés dans lesquels trois séries de plans parallèles et équidistants décomposeraient l'espace. .

Les sommets de ces deux réseaux ont des rayons vecteurs dont l'expression générale est

où m, n et p reçoivent toutes les valeurs entières possibles, positives ou négatives. La fonction reprendra donc la même valeur lorsque la variable passera par l'un quelconque de ces sommets.

Soient parmi tous ces points ijl, v et p ceux qui forment le triangle de surface minimum. Construisons à partir de a le i^éseau de parallélogrammes ayant |jlv et jxp comme côtés. Les sommets de ce nouveau réseau ayant des rayons qui rentrent dans la formule (1), doivent appartenir au système des points

déjà obtenus. De plus, aucun de ces derniers points ne pourra tomber à Tintérieur d'un parallélogramme, ni sur ses côtés en dehors des sommets, car il formerait alors avec deux des sommets un triangle, tel que le triangle ombré de la figure, de surface inférieure au triangle yivp, ce qui est contraire à l'hypothèse admise. Ainsi tous les sommets du réseau multiple que nous avions formé d*abord doivent appartenir à un réseau simple unique, ce qui revient à dire que les trois périodes peuvent se ramener à deux.

Le raisonnement suppose, il est vrai, que le triangle minimum (ivp a des dimensions finies, mais s*il était infiniment petit, cela signifierait que la fonction admet une période infiniment petite, liv. par exemple, et Ton reconnaîtrait alors, comme dans le cas du théorème précédent, que la fonction ayant une dérivée nulle doit se réduire à une constanie.

127. Ces théorèmes préliminaires font voir qu'une fonction géométrique continue ne peut admettre que deux périodes géométriques élémentaires de directions distinctes. Soient a l^^ •• -l /••

et g ces deux périodes : si Ton / / / /

porte à partir d'un point quel- 1 -#., x j- -

conque v^ du plan des Ion- / / / gueurs telles que J^ dL / -i—

ma -I- n?,

où Ton attribue à m et à n toutes les valeurs entières possibles, on obtient une infinité de points formant les sommets de parallélogrammes ayant a et g pour côtés ; l'un de ces parallélogrammes est dit parallélogramyne élémentaire et le réseau constitué par leur ensemble a reçu le nom de réseait Bi-avais. du nom du savant

qui s'est servi de la considération de ces réseaux pour ses célèbres études cristallographiques.

La fonction reprendra la même valeur que pour le point initial v^ toutes les fois que la variable passera par un des sommets de ce réseau, et en général sa valeur ne changera pas si la variable se transporte d'un point quelconque pris à l'intérieur d'un parallélogramme en un point semblablement situé à l'intérieur d'un autre parallélogramme élémentaire.

On pourra donc borner l'étude d'une pareille fonction aux valeurs de la variable aboutissant à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire.

On démontre (V. Bertrand, Calcvl diff. et int,^ II, § 612 et suivants) ç{\\une fonction doublement périodique admet toujours au moins deux zéros et deux infinis à V intérieur d'un parailélogramme élémentaire^ et quen général le nombre total de se^ zéros dans un parallélogramme est égal au nombre de ses i7ifi7iis.

L'étude des fonctions doublement .périodiques constitue une branche importante de l'analyse ; nous y reviendrons, à propos des fonctions elliptiques, |dans la seconde partie de ce Cours.