L — GÉNÉRALITÉS

129. Les applications géométriques de la méthode infinitésimale sont de deux natures :

1® Applications à la géométrie analytique, — Ce ne sont en réalité que des applications algébriques, avec cette seule différence que les équations sont interprétées géométriquement.

2* Applications directes à la géométrie^ sans recourir d'une façon constante du moins aux relations de coordonnées. Ces dernières applications constituent la géométrie infinitésimale.

Nous rencontrerons, dans la suite, ces deux sortes d'applications souvent mêlées l'une à Tautre.

130. Cyourbes considérées comine polys<>i^®<9 Inflnltésimauic. Points consécutifs. — Nous considérerons une courbe comme la limite d'un polygone infinitésimal inscrit dans cette courbe. La seule condition que nous imposerons à ce polygone sera d'avoir tous ses côtés infiniment petits, et nous reconnaîtrons que les éléments géométriques calculés par le moyeu

de ces considérations seront indépendants de la manière dont

nous supposerons construits les côtés infiniment petits de ce polygone.

Si x^ et y^ sont les coordonnées d'un point a d'une courbe plane

celles du point suivant b seront

X| î= Xç + uXq,

yi = !/o + ^î/o;

où dx^, dy^ seront simplement assujettis t\ la liaison différentielle du premier ordre résultant de la relation (1).

Le point suivant c aura de même pour coordonnées

X, = x, + dx,,

c'est-à-dire

^i = (i/o + t£yj + d(î/o -h dî/o) = î/o + 2di/o + d*i/o,

et ainsi de suite ; les différentielles étant toujours liées par les seules conditions déduites de Téquation (1). En général, x^^^ et y^^i seront donnés par

Xp^j ^ Xp -f- uXp,

!/p+i = yp + dyp ;

relations qu'on peut écrire symboliquement

Xp+, = Xp (1 + d), yp+i =2/p(^ +«*)»

et qui conduisent aux formules symboliques générales

Xn = Xo (1 -f d)**,

Vn+i = yo (* + ^)"-

CALCUL DIFFERENTIEL 169

Les points a, ft, c,... sommets consécutifs du polygone infininitésimal, sont dits points co)isécutifs de la courbe.

Les cordes ai, bc, cd ... reçoivent le nom de tangentes consé^ cutives.

Des considérations tout analogues s'appliqueraient à une courbe gauche.

Les différentielles entrant dans l'expression des coordonnées des points consécutifs, seraient alors soumises aux liaisons provenant des équations simultanées :

qui représentent la courbe.