Dlflérento ordres de eootact des courbes

Considérons deux courbes

représentées par deux poly- f^

gones infinitésimaux, et supposons que ces polygones ptiissent être détermines de manière à avoir à la limite deux sommets consécutifs 2 et 2'. 3 et 3' en coïncidence.

Les deux courbes ont alors une tangente commune 23, 2'3'; elles sont dites tangentes QXiive elles.

Elles sont osculatrices si les polygones peuvent avoir trois points consécutifs communs, surosculatrices s'ils en peuvent avoir quatre, et ainsi de suite. En général, on dit que les deux courbes ont entre elles un contact d'ordre n si elles ont n + 1 points consécutifs communs.

132. Remarque importante. — Deux courbes planes ayant un contact du n^* ordre se traversent ou ne se traversent pas suivant que tordre de leur contact est pair ou impair.

On s'en rend facilement compte en supposant d'abord les

points communs -^ aux deux courbes

situés à des distances finies les uns des autres , car alors à chaque point commun les courbes se traversent, et si le nombre des points communs est pair, par exemple, les courbes finissent

par rester, après leur dernière rencontre, dans la même situation

respective qu'avant leur premier croisement.

Cette remarque ne peut cesser d'être vraie quand les points

deviennent infiniment voisins, et la propriété énoncée se trouve

ainsi démontrée.

133. Caractère analytique des contacts. — Nous avons vu que les coordonnées des points consécutifs d'une courbe pouvaient s'exprimer en fonction des différentielles de ces coordonnées par des formules symboliques telles que

Xn = Xo (i + d)\

Si deux courbes planes ont un contact du premier ordre, c'està-dire deux points consécutifs communs, on aura pour ces deux courbes

et symboliquement

^0 — ^a» Va — 1o»

*,(! + d) = Ç,(l +d), y,(l + d) = ii,{l +d);

c'est-à-dire, à cause de (1),

CALCUL DIFFÉRENTIEL ili

S'il y a un contact du deuxième ordre, on aura en outre Xo(I + d)« = Ço(i + d)\ y, (1 + d)« = 1)0 (1 + d)«;

c'est-à-dire, à cause de (1) et (2),

!3) d«Xo = d«eo, d'yo = d%,

et ainsi de suite. En sorte que, pour le contact du n*~ ordre, chaque coordonnée devra avoir n diflférentielles consécutives égales, ou, pour préciser davantage, si Ton attribue à Tune des variables, x par exemple, n accroissements différentiels arbitraires, mais qui soient les mêmes pour les deux courbes, les deux courbes devront donner pour l'autre variable des accroissements différentiels qui soient aussi les mêmes.

Si, par exemple, on traite x en variable indépendante, les n premières dérivées de y déduites des équations des deux courbes devront être égales entre elles.