THÉORIE GÉNÉRALE DES ENVELOPPES

i* ENVELOPPES DES COURBES PLANES

1341. Considérons une courbe plane:

f (xy y, ») = 0,

renfermant un paramètre variable a dans son équation. A chaque valeur attribuée à ce paramètre correspond une courbe déterminée, et l'ensemble de toutes ces courbes constitue une série de courbes.

iT2

A deux valeurs infiniment voisines de a, a^ et a^ = {x^ + dl, i

correspondent dans la série \ deux courbes C^, et G,, en général infiniment peu différentes.

Supposons que ces deux courbes se rencontrent en un point Cq, et considérons la figure formée par l'ensemble des deux courbes C^ et G,.

Si nous donnons à a un accroissement différentiel di dans les équations de ces deux courbes , la première G^ se trasnforme en G^ et la

seconde G, devient la courbe G, correspondant dans la série à la

valeur

«4 4- da ou «0+2 dx

attribuée au paramètre.

Comme, d'ailleurs, dans cette transformation, la figure que nous considérons a dû se déformer infiniment peu, le point d'intersection e^ des deux courbes primitives G^ et G, a dû se transporter en un point e^ généralement infiniment voisin de e^ et commun aux deux nouvelles courbes G, et G,.

A un nouvel accroissement différentiel dx donné à a, correspondrait de même un point e^ intersection de deux nouvelles courbes G, G, de la série, et ainsi de suite.

Les courbes G^ G^ G,... sont dites courbes consécutives de la série, et les points e^ e^ e^... forment un polygone infinitésimal, c'est-à-dire une courbe E qui est dite Venveloppe des courbes de la série.

Gelles-ci, réciproquement, sont dites les enveloppe'es de la courbe E que nous venons de définir.