Théorème. — Venveloppe est tangente à toutes les

enveloppées. — Ce théorème est pour ainsi dire évident d'après les explications précédentes.

En effet, Tenveloppe a deux points consécutifs communs avec chacune des enveloppées.

Cette propriété se vériQe d'ailleurs analytiquement au moyen de l'équation de Tenveloppe que nous allons établii*.

13G. Détennlnatloii analytique de l'enveloppe.

— Un point de Tenveloppe, le point e^ par exemple, est déterminé par l'intersection des deux courbes consécutives :

li) r{x, y, «o) = 0,

en sorte que le lieu des points e^^ c'est-à-dire Tenveloppe tout entière, sera représentée par le système des équations (I) et (2) dans lesquelles on attribuera à a^ toutes les valeurs possibles, ce qui revient à le considérer comme une variable indéterminée. Mais la seconde de ces deux équations peut s'écrire, par le développement de Taylor limité aux infiniment petits du premier ordre :

»') r[x, y, «o) + fu(x, y, «o) d« = 0,

et elle se réduit, à cause de la première, à :

Ts {x, y, ««) du = 0,

c'est-à-dire, puisque da, quantité infiniment petite, n'est pas rigoureusement nulle à

l'équation de l'enveloppe s'obtiendra donc en définitive par rélimination de a entre l'équation générale des courbes de la série

et Téquation

obtenue en égalant à zéro la dérivée de f par rapport à a.