Râle dea inflnlmeDt petite dans les coleals

Les infiniment petits étant, par leur nature même, des quantités variables tendant vers zéro, leur emploi ne peut conduire à des résultats finis qu'autant qu'on les considère à l'état de rappwts ou de sommes.

Le rapport de deux infiniment petits peut avoir, en efi'et, une limite finie comme nous venons de l'expliquer, quand ces infiniment petits sont du même ordre.

D'autre part, une somme d'infiniment petits peut aussi tendre vers une limite finie, à la condition que le nombre des infiniment petits soit in/inimcnl grand, c'est-à-dire que ce nombre tende vers l'infini en même temps que tendent vers zéro les infiniment petits qui composent cette somme.

Considérons, pour mieux faire comprendre cette façon d'envisager les infiniment petits, les rectangles obtenus en divisant la hauteur d'un triangle en un certain nombre de parties égales et menant par les points de division des parallèles à la base, comme l'indique la figure ci-contre.

Si le nombre des parties dans lesquelles on

divise la bauteur augmente indéfiniment,

les rectangles deviennent infiniment petits,

mais leur nombre est infiniment grand et

il est visible que la somme de ces rectangles infiniment petits tend

vers la surface du triangle donné,

A. ces deux manières de traiter les infiniment petits correspondent, comme on le verra par la suite du cours, les deux branches

du calcul infinitésimal: le calcul différentiel et le calcul intégral. L'étude même de ces deux méthodes de calcul et Texposé des applications qui s'en déduisent feront suffisamment comprendre combien la considération des infiniment petits est utile en analyse.

O. Principe fondamental du calcul des infiniment petits. — Toutes les fois qu'une expression renfermant des infiniment petits se compose de la somme de plusieurs termes, on peut négliger les termes d'ordre supérieur et ne conserver dans ces expressions que les termes de l'ordre le moins élevé.

Ainsi, soit par exemple l'expression

Aa + B? + Cy 4- D8 + Es,

dans laquelle A, B, G, D, E sont des coefficients conservant une valeur finie, a, 3? y? ô, e des infiniment petits. Supposons que a étant choisi comme infiniment petit principal, g soit du premier ordre, y et 3 du second, e du troisième. L'expression pourra être réduite à

Aa + Dp.

En effet, en divisant par a tous ses termes, on peut l'écrire

(A + B!+CÏ + D?.-Ei).

et comme par hypothèse -,-, - tendent vers 0, on peut par

avance supprimer de l'expression les trois derniers termes, sans

altérer le résultat final du calcul.

Il est très essentiel de remarquer que par ces simplifications

on altère Vçxactitude de Vexpression considérée, mais comme

cette expression ne doit être employée quà sa limite en vue du

calcul d'un rapport ou d'une somme, l'altération ainsi produite

n'influe pas sur l'exactitude finale du résultat, et le procédé do

calcul employé se trouve ainsi justifié.

Conséquence du principe précédent : homogénéité des expressions renfermant des quantités infinitésimales. D'après le principe précédent, toute expression analogue à celle que nous avons prise comme exemple ne doit subsister dans les calculs qu*à l'état homogène, c'est-à-dire avec des termes qui soient tous du même ordre infinitésimal.