DES FONCTIONS DIFFÉRENTIELLES ET DÉRIVÉES DU PREMIER ORDRE

T. Sisntfleation précise du mot fonction. — Nous commencerons par rappeler la définition précise du mot fonction :

Une quantité variable est dite ' fonction d'une autre quantité variable comme elle, lorsqu'à toute valeur assignée à la seconde correspondent une ou plusieurs valeurs déterminées pour la première.

L'algèbre, la trigonométrie, la géométrie, Tarithmétique fournissent des exemples de fonctions en nombre illimité.

Par exemple, le polynôme

est fonction de a*, le sinus est fonction de Tare, la surface d^un cercle est fonction de son rayon, etc. Mais tandis que ces diverses fonctions sont continues^ c'est-à-dire reçoivent des accroissements aussi petits que Ton veut lorsqu'on donne des accroisse-

ments analogues à la variable , il n'en est pas de même en général des fonctions arithmétiques. Ainsi, la somme des nombres naturels

est évidemment fonction du nombre n auquel on s'arrête; mais comme ce nombre doit être entier, on ne peut lui donner un accroissement inférieur à l'unité, et la fonction subit alors un accroissement brusque et saute sans transition d'une valeur à une autre. C'est ce qu'on exprime en disant que la fonction est discontinue.

8. Lorsqu'une quantité y est fonction d'une autre quantité x de la manière que nous venons de définir, il est essentiel de remarquer que la liaison existant entre ces deux quantités est nécessairement réciproque, en ce sens que x peut être considéré à son tour comme une fonction de y.

Pour bien faire comprendre cette liaison, nous comparerons les deux variables à deux organes d'un même mécanisme qui se commandent mutuellement, la manivelle d'une machine à vapeur et son piston, par exemple: le déplacement de l'un de ces organes dépend du déplacement de l'autre ; ces déplacements sont fonctions Tun de l'autre : déplaçons arbitrairement la manivelle, nous ferons avancer le piston ; poussons au contraire le piston, nous ferons tourner la manivelle.

Il en est de même des deux quantités .r et y, et lorsqu'on dit que y est la fonction et x la variable, on entend seulement par là que X est celle des deux variables que l'on fait croître ou décroître arbitrairement, et dont la variation entraîne celle de y.

La liaison qui existe ainsi entre xety s'exprimera de la manière la plus générale par une équation de la forme

(1) F(ac,j/) = 0.