Applicatloii é, un exemple. — Enveloppe des droites
on a
d'où
y + ax + a» =0,
L*enveloppe est un parabole qui a pour sommet l'origine et Taxe des y pour axe.
13S. Cas où l'éfiuatloo des enveloppées renferme deux paramètres liés entre eux par une relation connue. — Soient, par exemple, les équations
fix, y, a, P) = 0,
La solution précédente s'appliquerait évidemment si l'on commençait par éliminer Tun des deux paramètres, le paramètre P par exemple.
Mais on peut éviter cette élimination en différentiant directement les équations (1) et (2) et traitant p comme une fonction de a dans cette diflférentiation.
On obtient ainsi les deux relations :
9Vd« + ?'pdp = 0,
qui, jointes aux deux précédentes, permettent d'éliminer a, 3 et
-j- et d'arriver ainsi à une équation entre x et y qui est celle de l'enveloppe.
139. Applleatlon à un exemple. — Soit une droite ab de longueur constante l se déplaçant dans un angle droit XOY. On propose de chercher son enveloppe.
Désignant par a,3, les abscisse et ordonnée à l'origine de cette droite, on a pour son équation
ou
(1) px + ay = «p,
avec la condition
D'après la théorie précédente, on a à éliminer a, g ^^ '^ entre les équations (1) et (2) et les deux suivantes :
Eliminant d'abord -^ , on trouve :
UrOt
pi/ — ax = P* — a'.
Il resterait à éliminer a et ^ entre (1) (2) et (5). Mais on peut, dans le cas actuel, simplifier la solution au moyen de la remarque suivante :
Pour un système déterminé de valeurs de a et g, le point correspondant e de l'enveloppe est donné par l'intersection de la droite ab
avec la droite ce
py — ax = p* — a«,
qui est perpendiculaire à la première et facile à construire ; car
elle passe par le point c (a, jâ), qu'on obtient en formant le rectangle aObc.
Désignant par Ç et nj les coordonnées ef, eg du point (?, et par ç Tan gle & a 0, on a sur la figure :
Ç = 6/"= 6e CCS ç = i>c cos* ?
= ab ces' 9 = l ces' f ,
T] = eg := ae sîn 9 = ac sin* f = ab sin' 9 = l sin' 9 ;
d'où:
équation qui est évidemment celle de l'enveloppe et que l'on peut écrire :
Nous verrons, dans l'étude de la cinématique, que cette courbe est une épicycloïde.
14^0. Remarque sur deti cas d'impossibilité apparente. — Pour qu'il y ait enveloppe, il faut évidemment que deux courbes de la série en général, et en particulier deux courbes consécutives, puissent se rencontrer. Donc, étant choisis arbitrairement x et y, c'est-à-dire un point M du plan, l'équation
doit pouvoir donner au moins deux valeurs de a, c'est-à-dire deux courbes de la série passant par le point M.
Par suite, il n'est pas possible que la valeur de a se présente
sous la forme: |
qui conduirait par l'application de la règle (en formant f\ = 0) à Tabsurdité
En résolvant Téquation (1) par rapport à a (ce qui est toujours théoriquement possible), on devra donc trouver une valeur de cl qui renferme au moins un double signe.
Supposons, par exemple, qu'on soit conduit à une expression de la forme :
On aura alors deux courbes de la série passant par un même point x^, î/o ^^ V^^^ ®* correspondant aux deux valeurs du paramètre :
«' = • (^'o» Vu) + 4* (^0» Vo^f *" = 9 (^0» yo) — + (^01 Voh
Si ces courbes sont infiniment voisines, ce qui est la condition pour que le point x^, y^ appartienne à l'enveloppe, a et a" ne peuvent différer que d'une quantité infiniment petite da, donc
d'où la condition
qui doit être l'équation même de l'enveloppe.
141 . Exemple. — Appliquons ces observations à l'exemple traité plus haut :
Résolvant en a, on trouve :
d'où
et la condition
donne bien eflfectivement Téquation de Tenveloppe.
1412. Remarciiie. — Si Ton fait varier simultanément et d'une manière quelconque x^y et a, dans
les accroissements différentiels des trois variables satisfont à:
(2) r, dx •\.f^dy + f\ da = 0.
Mais si Ton se déplace dans le plan de manière à suivre l'une des courbes de la série, alors da étant nul, dx et dy doivent vérifier la condition :
(3) fxdx + fydy — a.
Si Ton élimine a entre les équations (I), et (3) on obtiendra évidemment une équation différentielle indépendante de a, à laquelle devront satisfaire en chacun de leurs points toutes les courbes de la série. C'est l'application au problème de géométrie qui nous occupe de la règle analytique précédemment donnée pour l'élimination des constantes.
Toute relation de la forme :
fn r(^,y,«)=o,
quelle que soit la constante a, obligerai? et y à satisfaire à l'équation différentielle trouvée.
Mais cette relation différentielle peut admettre d'autres solutions non comprises dans la relation (1).
Prenons, en effet, le système d'équation:
qui. par rélimination de a donne Téquation,
de Tenveloppe.
Je dis que la relation
satisfait également à Téquation différentielle.
En effet la liaison entre dx et dy qui résulterait de Téquatioii (5), peut s'obtenir par la différentiation simultanée des équations (4).
La première donne
f»dx + /*„ dy -h fa da=zO,
ou simplement, à cause de f*^ = 0,
/», dx + /'y dy = 0, équation qui, jointe à
ramène bien par Télimination de a à l'équation différentielle précédente.
On voit que la disparition du terme f\ da provient, dans ce cas, non plus de la condition da = 0 qui indiquerait qu'on se déplace sur Tune des courbes de la série, mais bien de la condition f^ =0, exprimant que l'on se déplace sur l'enveloppe.
C'est là un résultat remarquable que nous avions précédemment annoncé à propos de l'élimination des constantes (99), et sur lequel nous aurons encore à revenir dans l'étude du calcul intégral.
L'interprétation géométrique en est facile, d'ailleurs. En effet, l'équation différentielle en a? et y à laquelle on est parvenu par l'élimination de a entre les équations (1) et (3), donne en chaque
point du plan le rapport -^ en fonction de x et Ae y, et équivaut
à Tobligation de suivre une des courbes de la série pendant un déplacement infiniment petit. Mais si Ton part d un point de Tenveloppe , cette enveloppe , tangente en chacun de ses points à Tune des courbes de la série, fournit toujours pour
■~ une valeur satisfaisant à la condition différentielle, et
pourra être suivie aussi bien que Tune de ses enveloppées.
